Фрактальная геометрия природы

Регулирование лакунарности. Понятие лакунарности, представленное в главе 34, непосредственно применимо к створаживанию на прямой и к створаживанию по Хойлу. Если у Хойла заменить N=5 «реальным» значением Фурнье N=10²² (см. рис. 141), то лакунарность случайного творога становится очень и очень малой.

СТВОРАЖИВАНИЕ В МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОГО РАССЕЯНИЯ НОВИКОВА – СТЮАРТА

Пространственное случайное створаживание можно наблюдать и в одной очень ранней модели перемежаемости турбулентности. Новиков и Стюарт [451] предполагают, что пространственное распределение рассеяния генерируется каскадным процессом: в начале каждого этапа берется предтворог предыдущего этапа и створаживается дальше, давая в результате N меньших в r раз частей. См. рис. 312 – 315.

Эта модель очень приблизительна, она даже грубее модели, предложенной в [21] для описания определенных избыточных шумов (см. главы 8 и 31). Она почти не привлекла к себе сколько-нибудь благосклонного внимания, ее никто не исследовал и не разрабатывал. Однако такое пренебрежительное отношение лишено всяких оснований. Мои исследования показывают, что в створаживании, согласно этой модели, уже присутствовали многие черты, характерные для более совершенных и более сложных современных моделей.

Рис. 312 – 315. Случайный творог Новикова – Стюарта на плоской решетке (размерности от D=1,5936 до D=1,9973) и перколяция

Каскад Новикова – Стюарта дает полезное общее представление о том, каким образом турбулентное рассеяние в жидкости приходит в итоге к относительно малому объему. Концептуально он очень похож на каскад Хойла, проиллюстрированный на предыдущих рисунках; Однако между фрактальными размерностями D получаемых в пределе этих каскадов множеств имеется значительное различие. Размерность распределения галактик близка к единице, тогда как в турбулентности D>2, причем хорошим приближением считается значение в интервале от 2,5 до 2,6. Для более общего понимания процесса створаживания на рисунках представлены примеры с различными размерностями. Во всех примерах r=1/5, а N принимает следующие значения:

N=5×24, N=5×22, N=5×19, N=5×16 и N=5×13.

Размерности же, соответственно, равны:

D=1+ln24/ln5=2,9973; D=2,9426, D=2,8505, D=2,7227 и D=2,5936.

Сыворотка изображается серым цветом, а творог черным или белым. Белая область представляет собой перколяционный контактный кластер, т.е. вы можете, двигаясь только по белому, пройти от нижнего края рисунка до верхнего. Черным цветом представлены все остальные контактные кластеры.

Так как размерность турбулентности больше 2, твороги эти, в сущности, непрозрачны, а на рисунках показаны (в отличие от творогов Хойла) их плоские сечения со следующими размерностями:

D=1,9973, D=1,9426, D=1,8505, D=1,7227 и D=1,5936.

Правый нижний угол рис. 312 отведен под пример с размерностью D~1,9973, не представляющий большого интереса, остальная часть рисунка иллюстрирует случай D~1,9426.

Порождающая программа и затравка одинаковы для всех примеров, и мы можем проследить постепенное исчезновение серых пятен по мере увеличения размерности. Для начала возьмем 25 субвихрей любого вихря и наложим их случайным образом друг на друга. Серыми окажутся 25−N верхних субвихрей, где N=5^D.

В двух примерах с наименьшими размерностями перколяции не происходит. При N=19 на рисунке остается несколько черных пятен и появляется много белых. Некоторые затравки перколируют уже при N=18. Однако на иллюстрациях показан слишком ранний этап каскада, чтобы можно было делать достоверные оценки порога D_крит.

Сыр. Образ, стоящий за термином створаживание (равно как и за термином сыворотка, обозначающим дополнение творожного множества), не следует, разумеется, воспринимать буквально, однако известно, что образование реального сыра может быть вызвано биохимической нестабильностью – точно так же, как створаживание Новикова – Стюарта происходит, согласно предположению, вследствие нестабильности гидродинамической. Как бы то ни было, неопровержимых данных в пользу того, что какой-нибудь съедобный сыр может оказаться, ко всему прочему, еще и фрактальным, у меня нет.

СЛЕДСТВИЯ «ПРОМЕЖУТОЧНОСТИ» СЛУЧАЙНОГО ТВОРОГА

Известно, что в трехмерном пространстве стандартные фигуры с размерностью D<3 (точки, линии и поверхности) имеют нулевой объем. Это верно и для случайного творога.

Площадь предтворогов также ведет себя довольно просто. При D>2 она стремится к бесконечности, а при D<2 - к нулю. При D=2 створаживание практически не изменяет величину площади.

Аналогичным образом, по мере того, как m→∞, суммарная длина краев предтворогов стремится к бесконечности при D>1 и к нулю при D<1.