Фрактальная геометрия природы

Асимптотический скейлинг. Асимптотически гиперболические С. В. К счастью, приведенное выше определение вовсе не является столь неопределенным, как может показаться на первый взгляд. При многих преобразованиях, как выясняется, для инвариантности требуется асимптотически гиперболическое распределение. Это означает, что должен существовать некоторый показатель D>0, такой, что пределы

и

определены и конечны, причем один из них положителен.

Распределение Парето. Термин «асимптотически гиперболическое распределение» можно рассматривать как синоним термина, хорошо знакомого статистикам-экономистам, а именно: распределение Парето. Вильфредо Парето – итальянский экономист, который пытался перевести законы механического равновесия в термины равновесия экономического, однако более прочно его имя запомнят, вероятнее всего, в связи с открытием им фундаментальной статистической закономерности: он обнаружил, что в определенных обществах количество индивидуумов с личным доходом U, превышающим некую большую величину u, распределяется приблизительно гиперболически, т.е. пропорционально u^−D. (Несколько позже в этой главе мы еще вернемся к распределению доходов.)

«НОВЫЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ» [342]

Гиперболические законы, аналогичные распределению Парето, были позднее обнаружены во многих отраслях экономики, а на объяснение их столь широкой распространенности потрачены немалые усилия. Однако позвольте мне прежде описать один еретический подход к этой задаче.

В такой области, как экономика, ни в коем случае нельзя забывать о том, что «данные», которыми нам приходится оперировать, представляет собой весьма разнородную смесь. Поэтому распределение данных является результатом совместного действия базового фиксированного «истинного распределения» и в высшей степени изменчивого «фильтра». В [342] я отмечаю, что асимптотически гиперболические распределения с D<2 очень «крепки» в этом смысле, т.е. многие самые разнообразные фильтры практически не изменяют их асимптотического поведения. С другой стороны, почти все прочие распределения таким свойством не обладают. Следовательно, гиперболическое истинное распределение можно наблюдать всегда: всевозможные наборы искаженных данных предполагают одно и то же распределение с одинаковым показателем D. При попытке применить тот же подход к большинству других распределений мы получим «хаотические» несовместимые результаты. Иными словами, практической альтернативой асимптотически гиперболическому распределению является не какое-то другое распределение, но хаос. Поскольку хаотические результаты, как правило, не публикуются (а если публикуются, то не замечаются), факт широкой распространенности асимптотически гиперболических распределений не представляет собой ничего неожиданного и мало может сообщить нам об истинной их распространенности в природе.

ЗАКОН СЛОВАРНОЙ ЧАСТОТНОСТИ ЦИПФА

Слово есть не что иное, как последовательность «правильных» букв, заканчивающаяся «неправильной» буквой, называемой пробелом. Возьмем образец речи некого индивидуума и расположим в ряд содержащиеся в этом образце слова по следующему принципу: на первое место поставим слово, встретившееся в тексте наибольшее количество раз, далее – второе по частоте употребления и т.д., причем слова с одинаковой частотой будем располагать в произвольном порядке. В такой классификации ρ обозначает порядковый номер (ранг) слова, встречающегося в речи с вероятностью P, а термин распределение частотности слов описывает соотношение между ρ и P.

Можно ожидать, что это соотношение подвержено самым беспорядочным изменениям, находящимся в зависимости от языка и индивидуальных особенностей оратора, однако в действительности это не так. Эмпирический закон, обнаруженный Ципфом [615] (о Дж. К. Ципфе смотрите очерк в главе 40), гласит, что соотношение между ρ и P «универсально», т.е. независимо от параметров, и имеет следующий вид:

P∝1/ρ.

А во втором приближении, которое я получил теоретически (тщетно пытаясь теоретически же вывести беспараметрический закон P∝1/ρ), все различия между языками и индивидуумами свелись к выражению

P=F(ρ+V)^−1/D.

Поскольку ΣP=1, параметры D, F и V оказываются связаны соотношением F⁻¹=∑(ρ+V)^−1/D.

В совокупности эти параметры служат мерой того, насколько богат словарный запас данного индивидуума.

Основным параметром является показатель D. Представляется разумным измерять богатство словарного запаса через относительную частоту использования субъектом редких слов: взяв, например, в качестве эталона частоту слова ранга ρ=1000, а не слова ранга ρ=10. Эта относительная частота возрастает при увеличении D.