Фрактальная геометрия природы

Не буду отрицать: на первый взгляд, приведенные на рисунке данные создают впечатление значительной нестационарности. В действительности это не так, потому что упомянутое первое впечатление будет, скорее всего, сформировано на основе убеждения, что описываемый процесс имеет гауссову природу. Я предлагаю альтернативу нестационарному гауссову процессу – и этой альтернативой является процесс устойчивый и стационарный, но совершенно не гауссов.

ВЫВОД

Насколько мне известно, ни одна экономическая модель еще не давала прогнозов, сравнимых по успешности с моими.

38 МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ БЕЗ ГЕОМЕТРИИ

Если когда-либо будут написаны монографии или даже учебники по фракталам, то их авторы, вероятно, поместят главы, посвященные рассмотрению случайных геометрических фигур (весьма деликатный в математическом смысле предмет), после более простых глав, описывающих случайные функции, а начинаться эти книги будут, конечно же, со случайных величин. В настоящем эссе мы поступили иначе, сразу окунувшись с головой в наиболее сложную тему, поскольку тема эта представляет наибольший интерес и дает наибольший простор для развития геометрической интуиции.

Ближайшие родственники фракталов – гиперболические распределения вероятностей. В предыдущих главах мы встречали немало примеров их применения, начиная с гиперболических функций Nr(U>u). Однако многое осталось недосказанным. Эта глава начинается с общих замечаний о предмете, а затем мы рассмотрим некоторые лингвистические и экономические феномены, относительно которых имеются многочисленные и убедительные эмпирические свидетельства, очень хорошо описываемые гиперболическими законами. Рассуждения в обоих случаях одинаковы и представляют масштабную инвариантность и размерность подобия в совершенно «развоплощенном» виде.

Приводимый здесь пример из лингвистики составлял тему моей первой статьи (см. главу 42). Благодаря ему я познакомился с некоторыми полезными приемами – весьма прямолинейными, но в то же время достаточно универсальными. У этого лингвистического примера имеется также и термодинамический аспект, связанный с моим недавним открытием математического аналога отрицательной температуры.

О ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ

Согласно определению, которое хорошо нам известно, случайная величина (с. в.) U называется гиперболической, если P(u)=Pr(U>u)=Fu^−D . Довольно странное, надо сказать, определение, ведь так при любом конечном префакторе σ получается, что P(0)=∞, что выглядит сущей нелепицей и определенно указывает на то, что здесь требуется некое особое отношение – как нам хорошо известно, так оно и есть. В главе 12, например, мы видели, что, когда генератор Коха включает в себя остров, предельная кривая будет включать в себя бесконечное множество островов, причем количество таких, чья площадь превышает некоторую величину a, будет равно Nr(A>a)=Fa^−B. Расположим их в порядке уменьшения площади (острова с одинаковой площадью можно располагать в произвольном порядке). Выбрать один такой остров случайным образом с равномерным распределением – значит выбрать случайным образом один порядковый номер из списка островов. Если нам это удастся, то мы с полным правом сможем заменить Nr(A>a) на Pr(A>a). Однако в действительности порядковый номер острова представляет собой целое положительное число, а нам известно, что выбрать случайным образом целое положительное число невозможно.

Еще одна знакомая история: из гиперболического распределения следуют прямые условные распределения. Например, условная с. в. {U, если U>u₀}, что записывается как {U|U>u₀}, удовлетворяет следующему равенству:

.

ПАРАДОКСЫ ОЖИДАНИЯ

При D>1соответствующее математическое ожидание определяется выражением

u₀>=D(D−1)⁻¹u₀.

Это выражение открывает широкий простор для бесчисленных парадоксальных историй. Ниже приведено несколько таких историй; особенно я рекомендую их тем из моих читателей, кто полагает себя трезвомыслящим – только не очень спешите.

Эффект Линди. Будущее карьерное ожидание телевизионного комика пропорционально суммарному времени его выступлений в прошлом. Источник: газета «The New Republic» от 13 июня 1964 г.

Ключ ищите в следующей истории.