Фрактальная геометрия природы

Суть одной весьма популярной подпорки заключается в цензурировании, лицемерно называемом «исключением статистических резко отклоняющихся значений». То есть производится отделение обычных «малых» ценовых изменений от больших ценовых изменений, на которых и спотыкаются фильтры Александера. Первые считаются случайными и гауссовыми, им посвящаются все перлы экономистского красноречия и изобретательности… словно кому-то до всего этого есть дело. Последние же рассматриваются отдельно – как «нестохастические». Сутью еще одной популярной подпорки является предположение о смеси нескольких случайных совокупностей: если некая величина X не является гауссовой, то, возможно, она представляет собой смесь двух, трех или бóльшего количества гауссовых случайных величин. Следующая подпорка использует нелинейные преобразования: если некая величина X положительна и совершенно не желает следовать гауссову распределению, то, может быть, гауссовым окажется lnX, а если величина X симметрична и негауссова, то, возможно, - чем черт не шутит! – критерию удовлетворяет tg⁻¹X . Очередной подобный «метод» (который я, кстати, рассматриваю как попытку самоубийства со стороны предложившего его статистика) предполагает, что изменения цен следуют броуновскому движению, однако параметры этого движения подвержены неконтролируемым вариациям. Последнюю подпорку просто-напросто невозможно опровергнуть, из чего философ Карл Поппер делает вывод, что она вообще не может являться научной теорией.

СКЕЙЛИНГОВЫЙ ПРИНЦИП В ЭКОНОМИКЕ [341]

Примером противоположного подпоркам подхода может служить моя собственная работа. Она применима к самым разным экономическим данным, однако сам принцип удобнее всего объяснить именно в контексте цен.

Скейлинговый принцип изменения цен. Пусть функция X(t) описывает изменения цены; тогда функция lnX(t) обладает следующим свойством: распределение ее приращения за произвольный временной интервал d (т.е. lnX(t+d)−lnX(t)) не зависит от d, если не считать масштабного коэффициента.

Прежде чем мы углубимся в изучение следствий из этого принципа, пройдемся по контрольному списку свойств, какими полагается обладать любому уважающему себя научному принципу.

Научный принцип должен давать предсказания, которые можно подтвердить экспериментально. Этому требованию наш принцип отвечает (в чем мы вскоре убедимся), причем отвечает весьма точно.

Когда научные принципы выводимы из других теоретических соображений в соответствующих областях науки, это всегда производит очень хорошее впечатление. Скейлинговый принцип изменения цен можно вывести из общей (не обязательно стандартной) формулировки доказательства центральной предельной теоремы, однако в рамках стандартной экономики его еще никто не выводил. Единственно доступные «объяснительные» доказательства рассматриваемого принципа [351, 363] расценивают его как следствие из применимости масштабной инвариантности к экзогенным физическим переменным. Доказательства эти, однако, нельзя назвать столь же хорошо обоснованными, как результат, который они призваны подтвердить.

Наконец, даже при полном отсутствии действительного объяснения, всегда приятно видеть, что новый научный принцип не вступает в открытый конфликт с более ранними предположениями. В этом смысле обсуждаемый нами скейлинговый принцип ведет себя достаточно невинно. Вопрос, на который он дает ответ, никогда ранее не поднимался, так что спорных мнений выразить никто не успел. В данном случае, вся масштабная инвариантность, похоже, сводится к одному – единственному утверждению: на реальных рынках в условиях конкуренции не существует особенных временных интервалов. Заметные невооруженным глазом отличия того или иного времени суток, дня недели (или времени года в случае сельскохозяйственных товаров) так или иначе компенсируются либо исключаются из рассмотрения. В то время как все обычные «подпорки» броуновского ценообразования предполагают наличие неких привилегированных временных масштабов, мой принцип всего лишь указывает на то, что не существует «достаточных причин» полагать, что какой-то временной масштаб окажется более привилегированным, нежели любой другой.

СИНДРОМ БЕСКОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИИ