Фрактальная геометрия природы

Повторюсь: математические сложности, с которыми мы сталкивались при изучении СББС, происходят из того обстоятельства, что локальные изменения могут повлечь за собой глобальные последствия. Аналогичным образом в результате локального изменения в сети Леопольда – Лангбейна главная река может прорваться через границу квадрата и утечь в соседний бассейн. Хорошо было бы научиться хотя бы измерять интенсивность результирующего долгосрочного взаимодействия на макроскопическом уровне. Я, естественно, полагаю, что определяющий эту интенсивность параметр представляет собой не что иное, как фрактальную размерность.

37 КОЛЕБАНИЯ ЦЕН И МАСШТАБНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ В ЭКОНОМИКЕ

Называя обнаружение закономерностей в изменении цен на фондовой и товарной биржах геометрической задачей, мы шутим лишь наполовину – финансовые разделы газет полны всевозможных опусов доморощенных «геометров», более или менее правдоподобно отображающих на своих диаграммах прошлое и претендующих на то, что они способны, исходя из геометрии этих построений, предсказать будущее.

В ответ на эти претензии у нас имеется контрдовод, впервые выдвинутый Луи Башелье еще в 1900 г.: построение диаграмм и графиков в данном случае бесполезно. В наиболее резкой форме его возражение звучит следующим образом: последовательные изменения цен статистически независимы. Если сформулировать мягче, то каждая цена определяется в результате «мартингального» стохастического процесса, т.е. рынок в этом смысле «совершенен»: все, что происходило в его прошлом, полностью игнорируется. Можно выразиться еще мягче: существование отклонений допускается до тех пор, пока они не превышают операционных издержек; такие рынки называются «эффективными». Понятие эффективности по Башелье оказалось как нельзя более точным.

Вот еще одно, более конкретное, утверждение Башелье: любая конкурентоспособная цена следует в первом приближении «одномерному броуновскому движению» B(t). Здесь стоит вспомнить и о том, что столь фундаментальный для физики процесс был открыт не признанным в математическом сообществе математиком; подробнее я расскажу об этом в главе 40. К великому сожалению, когда в дело вступили реальные данные, оказалось, что B(t) представляет их весьма неудовлетворительно. В настоящей главе представлено альтернативное описание, построенное мною на основе скейлингового допущения (одного, кстати, из самых ранних, причем не только в экономике). Как выяснилось, описание это на удивление точно отражает реальное положение дел.

ДИСКРЕТНОСТЬ ЦЕН

Мое простейшее анти – броуновское возражение основано на одном экспериментальном наблюдении, настолько простом и очевидном, что остается только удивляться, как нечто столь незамысловатое может оказаться столь фундаментальным. Впрочем, рассуждения, с помощью которых в предыдущих главах доказывалось, что в случае галактик D<2, а в случае турбулентности D>2, также удивительно просты и очевидны. Упомянутое незамысловатее наблюдение заключается в том, что для описания феномена, характеризующегося ярко выраженной дискретностью, нельзя использовать непрерывный процесс. Известно, что выборочные функции броуновского движения как раз и являются почти наверное и почти везде непрерывными. Однако цены на конкурентных рынках вовсе не обязаны быть непрерывными, и они явно дискретны. Единственная причина допущения непрерывности состоит в том, что многие науки, осознанно или нет, стремятся копировать процедуры, доказавшие свою эффективность в ньютоновской физике. Непрерывность вполне может оказаться разумным допущением при описании всевозможных «экзогенных» сущностей и процессов, которые применимы к экономике, но определены в чисто физических терминах. Цены в эту категорию никоим образом не вписываются: в механике просто нет ничего похожего, и она не может снабдить нас никакими указаниями на этот счет.

Типичный механизм ценообразования предполагает как знание настоящего, так и наличие прогноза на будущее. Даже в тех случаях, когда экзогенные физические факторы, определяющие цену, изменяются непрерывно, изменения прогнозов мгновенны и кардинальны. В ситуации, когда физический сигнал пренебрежимо малой мощности и длительности – «росчерк пера» - провоцирует столь резкое изменение прогнозов (причем дело усложняется тем, что не существует никакого учреждения, в задачу которого входило бы привнесение в процесс инерции), определенная на основе прогнозов цена может как упасть до нуля, так и вознестись до небес – с ней вообще может произойти все, что угодно.

НЕСОСТОЯТЕЛЬНОСТЬ МЕТОДА ТОРГОВЛИ С ФИЛЬТРАМИ [341]