Фрактальная геометрия природы

Это предположение оказывается справедливым в весьма широком диапазоне. В первых испытаниях [341, 352] мы применяли его ко многим товарным ценам, к некоторым процентным ставкам, а также к курсам кое-каких ценных бумаг XIX века. Позже Фама [136] подтвердил его применимость к колебаниям курсов современных ценных бумаг, а Ролл [498] – к изменениям прочих процентных ставок. Здесь же нам придется удовлетвориться одной – единственной иллюстрацией (рис. 470).

Рис. 470. Данные, подтверждающие наличие масштабной инвариантности в экономике, оригинальный вариант

К этой старой иллюстрации (которая воспроизводится здесь по [341]) я испытываю особую привязанность (несколько позднее я так же привязался к картинке, которая помещена в настоящем эссе на рис. 379). Здесь на одном графике показаны дважды логарифмические кривые положительных и отрицательных хвостов (больших отклонений) зарегистрированных изменений логарифмов цен на хлопок, а также функция совокупной плотности симметричного устойчивого распределения с показателем D=1,7 (в действительности этот показатель представляет собой несколько завышенное значение размерности D). По ординате откладывается относительная частота случаев, когда изменение одной из определяемых ниже величин X превышало изменение абсциссы.

Скопируйте эту иллюстрацию на кальку и подвигайте ее по горизонтали. Вы обнаружите, что теоретическая кривая совпадает с любой из эмпирических кривых с точностью до незначительных отклонений общей формы. Именно такой результат и постулируется в моем скейлинговом принципе!

Отклонения вызваны, по большей части, небольшой асимметрией в распределении. Согласно этому важному наблюдению, должны существовать асимметричные варианты устойчивого распределения.

На графике отображены следующие серии данных (положительные и отрицательные значения X рассматривались в каждом случае отдельно):

а) X=lnZ(t+1день)−lnZ(t), где Z - ежедневный курс на момент закрытия Нью-Йоркской хлопковой биржи, 1900 – 1905 гг. (Данные предоставлены Министерством сельского хозяйства США.)

б) X=lnZ(t+1день)−lnZ(t), где Z - индекс ежедневных цен на хлопок на различных биржах США на момент закрытия, 1944 – 1958 гг. (данные предоставлены Хендриком С. Хаутаккером.)

в) X=lnZ(t+1месяц)−lnZ(t), где Z - курс на момент закрытия Нью-Йоркской хлопковой биржи 15 числа каждого месяца, 1880 – 1940 гг. (Данные предоставлены Министерством сельского хозяйства США.)

ПРОГНОЗИРУЮЩАЯ СИЛА МОДЕЛИ

Прогнозирующая сила скейлингового принципа изменения цен базируется на одном важном открытии, которое описано ниже. Для начала построим распределение среднесуточных изменений цен за пятилетний период со средней изменчивостью цен. Экстраполируя теперь это распределение на среднемесячные изменения цен, мы обнаружим, что его график проходит как раз через точки, соответствующие всевозможным экономическим спадам, депрессии и т.д. Этот график учитывает все наиболее значительные события, произошедшие за почти столетний период в истории весьма непостоянного рынка товаров первой необходимости.

В частности (см. рис. 470), процесс, управляющий изменением цен на хлопок, остается приблизительно стационарным на протяжении относительно долгого рассматриваемого периода. Это поразительное открытие лучше всего представить в два этапа.

Первый критерий стационарности. Из рис. 470 видно, что и аналитическая форма процесса изменения цен, и значение D остаются неизменными. Бесспорно, стоимость денег и прочие подобные вещи претерпели значительные изменения, однако общие тенденции пренебрежимо малы по сравнению с флуктуациями, с которыми мы здесь сталкиваемся.

Второй критерий стационарности: исправление ошибки, присутствующей на рисунке 470. Необходимость введения второго критерия стационарности возникла благодаря счастливой случайности. Кривые a⁺ и b⁺ (равно как и a⁻ и b⁻) на рисунке смещены относительно друг друга по горизонтали. Поскольку смещение в дважды логарифмических координатах соответствует в естественных координатах изменению масштаба, это расхождение привело меня в [341] к тому, что я почти согласился с мнением экономистов, полагавших, что в 1900 г. распределение ценовых изменений было иным, нежели в 1950. Я считал тогда, что распределение сохранило свою форму, но его масштаб изменился (уменьшился, если быть точным).

Однако, как оказалось, в этой моей уступке общественному мнению не было никакой необходимости. Дело в том, что данные, по которым строились кривые a⁺ и a⁻, были неверно прочитаны (см. [368]). После внесения необходимых поправок кривые a⁺ и a⁻ оказались практически тождественны кривым b⁺ и b⁻.