Фрактальная геометрия природы

Значение R=4 относится к вершинам любого конечного приближения к S с помощью треугольников. Вершина для аппроксимации порядка h≥k является общей вершиной P для двух треугольников с длиной стороны 2 . Окружности с центром в точке P и радиусом 2^−k (при h>k) пересекают множество S в 4 точках и ограничивают произвольно малые окрестности точки P. А если B ограничивает «достаточно малую» окрестность точки P (при том, что вершины инициатора лежат вне B), то можно показать, что B пересекает S, по меньшей мере, в 4 точках.

Значение R=3 характеризует любую точку множества S, являющуюся пределом бесконечной последовательности треугольников, каждый из которых содержится внутри предшествующего ему треугольника и имеет вершины, отличные от вершин своего предшественника. Окружности, описанные вокруг этих треугольников, пересекают множество S в 3 точках, ограничивая при этом произвольно малые окрестности точки P. В этом случае, если B ограничивает достаточно малую окрестность точки P (вершины инициатора здесь также должны лежать вне B), то можно показать, что B пересекает S, по меньшей мере, в 3 точках.

Ковры. Когда множество S является ковром Серпинского, мы получаем радикально иной результат. Пересечение границы любой достаточно малой окрестности и S представляет собой несчетно бесконечное множество точек, причем независимо от параметров N, r или D.

Замечание. В этой дихотомии конечного/бесконечного салфетка немногим отличается от стандартных кривых, в то время как ковры неотличимы от плоскости.

Однородность. Единственность. Обозначив через R_min и R_max наименьшее и наибольшее значения R, достижимые в точке, принадлежащей множеству S, Урысон доказывает, что R_max≥2R_min−2. Ветвление называется однородным, если выполняется равенство R_max=R_min, так бывает, когда R=2, как в простых замкнутых кривых, или когда R≡∞.

Для других решеток, где R_max=2R_min−2, я предлагаю термин квазиоднородные. Самый простой и широкоизвестный пример таких решеток — самоподобная салфетка Серпинского. Другие неслучайные примеры входят в собранную Урысоном коллекцию (см. [571]) и не являются самоподобными. Таким образом, условиям квазиоднородности и самоподобности одновременно удовлетворяет только одно известное множество — салфетка Серпинского. Можно ли строго подтвердить эту, судя по всему, единственность?

Стандартные решетки. Здесь степень ветвления варьируется от минимального значения 2 для всех точек решетки, за исключением узлов, до переменного конечного максимального значения, достигаемого в узлах решетки: 4 (квадратная решетка), 6 (треугольная или кубическая решетка) или 3 (шестиугольная решетка). Однако по мере уменьшения размера ячейки стандартной решетки любого типа она трансформируется из кривой в область плоскости, и степень ее ветвления R устремляется к бесконечности.

Последнее становится более очевидным, если заменить бесконечно малое на бесконечно большое в решетке с фиксированным размером ячеек. Для того, чтобы изолировать все увеличивающуюся область решетки, придется пересечь неограниченно большое количество точек.

Формальное определение. < См. [426] и [38], с. 442. ►

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВЕТВЛЕНИЯ

Зададим себе привычный вопрос. Как бы ни занимали математиков фигуры Серпинского, Менгера и им подобные, не очевидно ли, что для человека, изучающего Природу, степень ветвления не может представлять никакого интереса? Ответ так же привычен — для нас с вами! — как и вопрос. Степень ветвления обретает значимость уже в «реальном мире» конечных аппроксимаций, получаемых при остановке ведущей к фракталу интерполяции при некотором положительном конечном внутреннем пороге ε.

В самом деле, если дано приближение салфетки Серпинского, составленное из заполненных треугольников с длиной стороны ε, то можно разъединить область, линейный масштаб которой превышает ε, простым удалением трех или четырех точек, каждая из которых принадлежит границе между двумя соседними пустотами. Это число (3 или 4) не изменяется при улучшении приближения. Следовательно, с точки зрения ветвления, все приближения салфетки можно считать кривыми.

Все ковры, напротив, обладают общим свойством: никакая пара пустот не имеет общей границы. Для разъединения конечного приближения такой фигуры, при рассмотрении которой мы игнорируем пустоты, меньшие ε, необходимо удалять целые интервалы. И количество этих интервалов возрастает по мере того, как ε→0. Уайберн [592] показал, что все фрактальные кривые, обладающие этим свойством, топологически идентичны (< гомеоморфны ►) и характеризуются тем, что никакая их часть не может быть отделена удалением одной точки.