Геометрическая рапсодия

"Слово — не воробей" — хотя такое определение и называется отрицательным, но с ним не поспоришь. Пришла поpa сдержать данные обещания. Итак, чем же мы сможем помочь несчастным плоскатикам, если их сапожники в целях экономии станут делать обувь только на одну ногу? А мы просто изымем ровно половину этой сверхрентабельной продукции и подвергнем ее еще одной технологической операции: перевернем и вновь положим на землю Плосколяндии. Теперь зеркальный глянец будет уже на зеркально отраженных туфлях, и останется лишь составить пары. Обратите внимание, что "двумерец" точно так же может зеркально преобразовать любую одномерную вещь — вынуть ее для этого из Линеляндии в свою плоскую страну и, перекрутив, вернуть обратно. Идучи по накатанной дорожке аналогий, следует и за жителями четвертого измерения признать неоспоримое право превращать любой предмет нашего мира в его зеркальный двойник.

Идея зеркального преобразования мира давно увлекала ученых и мыслителей. Так, Готфрид Вильгельм Лейбниц много думал о том, что бы случилось, если бы вся наша Вселенная вдруг отразилась в некоем сверхзеркале. В конце концов он пришел к выводу, что ничего в ней не изменилось бы. До недавнего времени — до работ американских физиков Ли и Янга — современным ученым нечего было возразить великому немецкому математику и куда менее великому философу. Иммануил Кант, великий немецкий философ, сыгравший выдающуюся роль в развитии диалектики (чья философия, по определению К. Маркса, при всей ее противоречивости и субъективно-идеалистической направленности была немецкой теорией французской буржуазной революции), и куда менее великий физик (хотя он и преподавал эту науку), тоже очень интересовался зеркальными отражениями. В своем знаменитом труде "Пролегомоны будущей метафизики" он писал: "Что может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем собственное отражение в зеркале! И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на место настоящей руки..." Разумеется, сказал бы на это современный нам ученый, который отвык удивляться подобным пустякам, — ведь они энантиморфны. Если вам встретится это ученое слово, знайте: автор хотел сказать "зеркально симметричные". Любые два энантиморфа различают, называя один "левым", а другой "правым". Ботинки, перчатки, левый и правый винт, даже целые автомобили — обычный "Москвич" и "Москвич" с надписью "Связь", у которого руль сделан справа, чтобы почтальону удобнее было выходить на тротуар за письмами, — все это энантиморфы.

И энантиморфны два листа Мёбиуса, закрученные в разные стороны — ведь, склеивая полоску, вы вольны сделать оборот и по и против часовой стрелки. Но здесь позвольте прервать едва лишь наметившийся разговор о левом и правом в этом мире (пусть пока поработает ваше воображение, разбуженное зеркальными разговорами), чтобы сдержать еще одно обещание.

Лист Мёбиуса, выдумка кабинетных ученых, забавная безделушка, вдохновляющая факиров и изобретателей, увлек и космологов. Одна из моделей нашей Вселенной — это трехмерный лист Мёбиуса. Астронавт, проделавший головокружительный путь вдоль такого космоса, вернется домой зеркально отраженным — с сердцем справа — так же, как Готфрид Платтнер из уэллсовского фантастического рассказа. (И в нашей реальной земной жизни встречаются, хотя и крайне редко, люди, у которых сердце справа. Уж не пришельцы ли, точнее, не ушельцы ли это?) Но способно ли наше бедное воображение справиться с трехмерным мёбиусом?

Оказывается, да. Возьмите трубу, вытяните у нее один край и просуньте этот тонкий конец в специально сделанную для него дырку в толстом конце. Теперь склейте концы (11). А теперь примите поздравления. Вы создали (правда, лишь мысленно) так называемую "бутылку Клейна" (это имя нам уже встречалось — Феликс Клейн, немецкий математик, почти наш современник: он умер в 1925 году). Отчетливо видно, что в эту одностороннюю посуду тем не менее можно налить вино. Вот только вопрос: отчего больше кружится голова — от самой бутылки или от ее содержимого? А если голова у вас еще не кружится, то вот еще один математический факт: в четырехмерном пространстве можно построить такую бутылку Клейна, что она не будет пересекать сама себя (лист Мёбиуса, если делать его ленту все шире и шире, рано или поздно неизбежно "самопересечется", но он, как мы видели, может жить и без этого; бутылка же Клейна в нашем пространстве без самопересечения никак не получается — попробуйте, убедитесь).