Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни

Возьмем, к примеру, отрезок прямой, треугольник Серпинского и заштрихованный квадрат (см. ниже). Если в два раза увеличить высоту и ширину каждой фигуры, мы получим, соответственно, две, три и четыре копии изначальной фигуры. Отрезок – одномерная фигура, а квадрат – двумерная, и когда мы увеличиваем высоту и ширину этих фигур, получаем, соответственно, 2 = 2¹ копии линейного отрезка и 4 = 2² копии заштрихованного квадрата. Для этих, как и для всех самоподобных фигур, размерность является экспонентой. Поэтому размерность d треугольника Серпинского определяется как 3 = 2^d. Итак, 2 = 2¹, а 4 = 2², значит, размерность треугольника больше единицы, но меньше двойки. По мере увеличения треугольник растет быстрее, чем одномерный отрезок, но медленнее, чем двумерный заштрихованный квадрат[125].

Треугольник Серпинского находится где-то между одномерностью и двумерностью. Пытаясь понять это явление, некоторые из моих студентов вначале думали, что между одномерностью и двумерностью может быть узкая полоска на плоскости. Полоска не занимает всю плоскость, поэтому, рассуждали ученики, она меньше, чем двумерная. Но она толще линии, а значит, более чем одномерная. Второе утверждение близко к истине благодаря так называемой монотонности размерности: размерность одной части не может быть выше размерности целого. А вот первое утверждение более проблематично, поскольку любая фигура, имеющая площадь, является двумерной. Узкая полоска на плоскости двумерна. Но треугольник Серпинского обладает бесконечным количеством отверстий, и площадь этих отверстий добавляется к площади большого треугольника, поэтому площадь треугольника Серпинского равна нулю[126].

Фрактальная размерность применяется во многих областях, в первую очередь при многократном измерении неровностей природных объектов. Расширение понятия размерности на области психологии или чувственного восприятия – задача непростая, однако вот вам финальный довод, или, скорее, догадка, или даже пожелание. Самоподобие скорби подразумевает, что на малых жизненных утратах мы можем испытать способы адаптации к большим утратам. Можно ли определить размерность проекции и, основываясь на этом, измерить, пусть и приблизительно, насколько прочно связаны между собой большие и малые утраты? Пока что я этого не знаю. Но, возможно, когда-нибудь узнаю.

Предварительно ответим на такой вопрос: «Если бы вы жили в мире, где размерность пространства выражается нецелым числом, как бы выглядело всё вокруг?»[127] А что, если размерность времени не выражается целым числом?

Вопросов больше, чем ответов, да и то это не совсем вопросы, скорее – фантазии.

Когда вы впервые сталкиваетесь с идеей фрактальной размерности и осознаёте, к чему она может привести, ваш взгляд на мир переворачивается. Едва мои студенты улавливали ее суть, я видел, как по аудитории проходили волны изумления (так реагировало большинство) или головокружения (так реагировали немногие).

Вот почему преподавание было для меня таким удивительным занятием и почему я оставил его, только оказавшись в больнице. Даже сейчас, по прошествии пяти лет после ухода из преподавания, я по-прежнему мечтаю о нем. Проснувшись утром, я думаю о том, что совершил ужасную, страшную ошибку, когда ушел на пенсию.

Сложность визуальных образов, шероховатость древесной коры, пушистость облаков, густота ветвей или листьев папоротника – всё это теперь представляется вам в виде числа. Осознав это впервые, вы говорите себе: «В жизни бы не подумал, что существует вот такое понимание сложности мира». А теперь вы узнали новый способ измерить эту сложность. Но со временем чувство удивления тускнеет, первый шок открытия уже не повторится, а от того благоговейного трепета, когда вы впервые посмотрели на мир новыми глазами, остается лишь горечь необратимой утраты.

Можно ли восстановить отзвук того первого ощущения? Вероятно. Можно спроецировать наше удивление от открытия нецелочисленных размерностей на множество разных ситуаций. Распространить простую формулу, в которой все части фрактала одинаковы по размеру, на самоподобные фигуры с различными масштабирующими множителями, на фракталы, для которых разрешены лишь некоторые сочетания преобразований (мы видели такой пример в первой главе, на с. 46, 47), на фракталы, где масштабирующий множитель выбирается случайным образом, на фракталы, где масштабирование является нелинейным, и так далее. Простую формулу фрактальной размерности (приведенную в Приложении) можно распространять на всё большее количество областей, и эти версии будут нести на себе отпечаток изначальной формулы. Каждое из таких расширений становится маленьким сюрпризом и дает толчок, напоминающий тот первый шок, который вы испытали, узнав о нецелочисленных размерностях.