Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни

Фракталы встречаются и в литературе. Например, Жозе Сарамаго так определяет геометрию кладбища, описанного в его романе «Книга имен»:

Был в моей жизни момент, когда я, сам того не замечая, оказался глубоко погружен в такую таинственную область, как фрактальная геометрия, о которой, уж простите мое невежество, до той поры совсем ничего не знал[123].

Сарамаго описывает расположение надгробий в виде разветвленного дерева: самые старые могилы ближе к стволу, наиболее новые – на концах ветвей. В 1999 году испанский математик Хуан Мануэль Гарсия-Руис обратил внимание Сарамаго на фрактальную геометрию этого кладбища. И действительно, фрактальная геометрия – это огромная научная область[124].

Мы приводим данные примеры, чтобы показать широкую палитру фрактальности, и чтобы вы, глядя на (неизбежно неправильные по форме) природные фракталы, не говорили: «Постойте, но это совсем не похоже на треугольник Серпинского». Мы ищем мотивы, которые приблизительно повторяются при изменении масштаба в пространстве, во времени или в каких-то более абстрактных координатах.

Вот вам примеры подобных структур в масштабах времени:

Возьмем день. Вы просыпаетесь засветло, думаете о предстоящих делах. Утром вы уже вовсю трудитесь; вечером вы заканчиваете работу и мысленно подводите итог сделанному за день. День закончен, вы ложитесь спать.

Возьмем год. Во тьме зимы вы думаете о том, что будете делать в этом году. Весной вы уже вовсю работаете над своим годовым проектом; осенью бо́льшая часть работы выполнена, и вы подводите итог сделанному за год. Наступает зима, год закончен, вы отдыхаете.

Возьмем жизнь. В детстве и юности мы осваиваем навыки для работы в будущем. В молодости вы вовсю включаетесь в работу; в старости выходите на пенсию и подводите итог сделанному за свою жизнь. Жизнь заканчивается, вы погружаетесь в сон небытия.

Конечно, этот грубый набросок не отражает всего богатства и разнообразия жизни, но он позволяет увидеть мотивы, повторяющиеся в различных временны́х масштабах. Почему мы обращаем на это внимание помимо того, что мы просто от природы склонны искать повсюду мотивы? Потому что день становится лабораторией года и целой жизни. Чтобы повлиять на траектории в более долгих временны́х масштабах, попробуйте, в качестве эксперимента, что-то изменить в масштабе одного дня. Как вам такая аналогия? Эксперименты в краткосрочном масштабе прекрасны тем, что можно попробовать много разных изменений и увидеть их краткосрочные последствия. Фрактальность предлагает условия для проверки гипотез в малом масштабе с последующим переносом в более крупный масштаб.

Я постараюсь доказать, что скорбь бывает разных масштабов, как по длительности во времени, так и по силе страдания. Если мы поймем, как справиться со скорбью в малых масштабах, может быть, это поможет справиться и со скорбью больших масштабов?

На самом деле, мы уже говорили об опытной лаборатории по работе со скорбью: в третьей главе такой лабораторией стала геометрия (вы можете заменить геометрию на область, наиболее интересную вам). Это был новый для вас раздел. В третьей главе я использовал фрактальную геометрию, потому что немногие детально знакомы с этим предметом. Это наиболее зрелищная часть геометрии, которая может преподнести сюрпризы практически каждому. (На самом деле, просто каждому. Когда кто-то показывал Бенуа Мандельброту новые вычисления, эксперимент или наблюдение, связанные с фракталами, на его лице был написан восторг. Этот обычно сдержанный человек, гений на пике своей карьеры, превращался в маленького ребенка, увидевшего в ночном небе метеор – яркую световую черточку там, где мгновение назад была тьма.) Мы продолжим разговор о фрактальной геометрии и сделаем вывод, который у многих вызывает удивление: размерность не всегда выражается целым числом.