Я – странная петля

131 такими радикалами, как Эварист Галуа… Великий Галуа действительно был юным радикалом, что привело к его абсурдно трагической гибели на дуэли в его двадцать первый день рождения; но слова «решение в радикалах» на самом деле означает извлечение корней n-ной степени, которые называются «радикалами». Для легкого, среднего и глубокого погружения в бессмертные радикальные наработки Галуа в области скрытых математических структур см. [Livio], [Bewersdorff] и [Stewart] соответственно.

136 содержит особый тип абстрактной структуры или паттерна… В «Реальных паттернах» [Dennett 1998] при помощи клеточного автомата Джона Конвея, известного как «Игра “Жизнь”», доказывается реальность абстрактных паттернов. Сама игра «Жизнь» идеально представлена в [Gardner], а ее актуальность для биологической жизни описана в [Poundstone].

144 как ни печально это признавать, изрядно затасканных… Я давно люблю творчество Эшера, но со временем меня все больше стали привлекать его ранние непарадоксальные пейзажи: я в них повсюду вижу намеки на магию, присутствие которой он ощущает даже в обыкновенных сюжетах. См. статью [Hofstadter 2002], которую я написал к торжеству по случаю столетия Эшера.

145 Так существует ли истинная странная петля – парадоксальная структура, которая… Вот три блестящие книги о парадоксах: [Falletta], [Hughes and Brecht], and [Casati and Varzi 2006].

147 оксфордский библиотекарь по имени Дж. Дж. Берри… (Почти) самодостаточные авторы «Принципов математики» приносили благодарности только двум людям, и Дж. Дж. Берри – один из них.

152 Чайтин и другие стали развивать… См. [Chaitin], в нем полно поразительных и странных выводов.

160 что в системе обозначений ПМ записывается как… Я здесь позаимствовал упрощенную гёделевскую версию нотации ПМ, вместо того чтобы взять символы прямо из первоисточника, поскольку их было бы трудновато переварить. (Посмотрите на страницу 172, и вы поймете, о чем я.)

164 суммой двух квадратов… См. [Hardy and Wright] и [Niven and Zuckerman].

190 суммой двух простых чисел… См. [Wells 2005], этот сад изысканных наслаждений.

163 Именно страстные поиски порядка в кажущемся беспорядке подпитывают их пламя… См. [Ulam], [Ash and Gross], [Wells 2005], [Gardner], [Bewersdorff] и [Livio].

165 В мире математики ничто не происходит «случайно»… См. [Davies].

165 Пал Эрдёш… однажды бросил шутливое замечание… Эрдёш, убежденный «матеист», часто говорил о доказательствах из «Книги», воображаемого талмуда, содержащего идеальные божественные доказательства всех великих истин. Мое видение «матеизма» можно найти в Главе 1 [Hofstadter and FARG].

168 Вариаций на Тему Евклида… См. [Chaitin].

169 Бог не играет в кости… См. [Hoffmann], это одна из лучших книг, что я читал.

170 эта теорема доказывается во многих учебниках по теории чисел… См. [Hardy and Wright] и [Niven and Zuckerman].

171 В первом десятилетии двадцатого века… История того, что подтолкнуло к формализации математики и логики, хорошо изложена в [DeLong], [Kneebone] и [Wilder].

173 в городе Брюнн… рос маленький мальчик… См. [Goldstein] и [Yourgrau].

174 Фибоначчи… исследовал то, что мы сегодня знаем как «числа Фибоначчи»… См. [Huntley].

174 Этот почти-но-не-совсем-циклический способ… См. [Péter] и [Hennie].

177 большая команда математиков… Недавно вышла книга [Ash and Gross], которая поставила целью разъяснить суть туманных идей этой команды. Я восхищаюсь их храбрыми попытками донести эти идеи до широкой публики, но подозреваю, что это невыполнимая задача.

177 трое математиков… Это были Ян Бюжо, Морис Миньот и Самир Шикшек. Оказалось, доказательство того, что 144 – единственный квадрат в последовательности Фибоначчи (кроме 1), не требует высокоабстрактных умозаключений, хотя оно довольно тонкое. Доказать это удалось в 1964 году Джону Кону.

178 аналогия Гёделя была подогнана очень точно… Суть и смысл работы Гёделя хорошо представлены во многих книгах, включая [Nagel and Newman], [DeLong], [Smullyan 1961], [Jeffrey], [Boolos and Jeffrey], [Goodstein], [Goldstein], [Smullyan 1978], [Smullyan 1992], [Wilder], [Kneebone], [Wolf], [Shanker] и [Hofstadter 1979].