Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Физики говорят о поисках «теории великого объединения»[11] – и конечно, теория множеств отличается такой сокрушительной обобщенностью, что вполне может показаться «теорией объединения теорий всего». Именно такой она и виделась членам Бурбаки. Однако через несколько десятков лет после запуска программы в их среду затесался выдающийся математик Александр Гротендик – и все преобразил. Он создал новый стиль чистой математики, головокружительно абстрактный и не менее плодотворный. Гротендика стали считать величайшим математиком последнего полувека задолго до его кончины в 2014 году – он умер в возрасте 86 лет отшельником в Пиренеях. Как отмечает Харрис, Гротендика с полным правом можно назвать не только величайшим, но и самым романтичным из математиков: «Его история – готовое художественное произведение».

Даже сухие факты его биографии будоражат воображение. Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году. Его родители были активными анархистами. Отец Гротендика, еврей из России, принимал участие и в восстании против царизма в 1905 году, и в революции 1917 года. Он избежал тюремного заключения при большевиках, дрался с приспешниками нацистов на улицах Берлина, сражался на стороне республиканцев во время Гражданской войны в Испании (вместе с матерью Гротендика) и после капитуляции Франции был депортирован из Парижа в Освенцим, где и погиб.

Мать Гротендика была нееврейка родом из Гамбурга. Она вырастила сына на юге Франции. Там мальчик проявил талант и к математике, и к боксу. После войны он отправился в Париж и изучал математику у великого Анри Картана. Сначала Гротендик работал в Сан-Паулу и в Канзасе, затем в Гарварде, а в 1958 году получил приглашение в Институт высших научных исследований, который был недавно основан одним частным предпринимателем и находился под Парижем, в лесах Буа-Мари. Там Гротендик провел следующие двенадцать лет и все это время перестраивал ландшафт высшей математики, поражая своих высоколобых коллег и юных учеников.

Гротендик был мужчина внушительный – бритоголовый красавец, суровый и при этом обаятельный. Его беспощадный минимализм проявлялся и в презрении к деньгам, и в монашеской манере одеваться. Непреклонный пацифист и антимилитарист, он в 1966 году отказался ехать в Москву на Международный конгресс математиков, чтобы получить медаль Филдса – высочайшую награду по математике. Однако на следующий год он все-таки отправился в Северный Вьетнам, где читал лекции по чистой математике в джунглях студентам, эвакуированным из Ханоя из-за американских бомбежек. Он (по собственной воле) почти всю жизнь не занимал никаких должностей, стал отцом троих детей в браке и двоих вне брака, основал радикально-экологическую группировку Survivre et Vivre и один раз был арестован за то, что отправил в нокаут двоих жандармов на политической демонстрации в Авиньоне.

Из-за своих непоколебимых и зачастую параноидальных принципов Гротендик в конце концов оказался изгоем во французских математических кругах. В начале девяностых он скрылся в Пиренеях, где, как сообщала горстка его поклонников, сумевших выследить своего кумира, провел оставшиеся годы, питаясь супом из одуванчиков и размышляя о том, как метафизические злые силы рушат божественную гармонию мира, для чего, по всей видимости, слегка изменяют скорость света. Говорили, что за ним присматривают жители окрестных деревень.

Представления Гротендика о математике заставили его разработать новый язык или даже, возможно, идеологию, позволяющую выразить доселе невообразимые мысли. Он первым сформулировал принцип, согласно которому знать математический объект – все равно что знать его отношения со всеми другими объектами того же рода. Иначе говоря, если хотите знать подлинную природу математического объекта, не заглядывайте внутрь него, а поглядите, как он играет с приятелями.

Такая «однородная группа» математических объектов называется категорией – подчеркнутый поклон Аристотелю и Канту. Например, категория может состоять из абстрактных поверхностей. Эти поверхности как-то взаимодействуют, то есть существуют естественные способы переходить с одной на другую и обратно с учетом их общей формы. Скажем, если у двух поверхностей одинаковое число отверстий, как у бублика и кофейной чашки, одна поверхность математически может быть гладко трансформирована в другую.

А можно представить себе категорию разных алгебраических систем, для которых существует операция, подобная умножению; эти алгебры тоже как-то взаимодействуют – в том смысле, что существуют естественные способы переходить из одной в другую с учетом их общей структуры умножения. Такие двусторонние отношения между объектами, сохраняющие структуру, называются морфизмами, а иногда, чтобы подчеркнуть их абстрактную природу, «стрелками». Они определяют общие очертания взаимодействий в пределах категории.