Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Процесс этот наблюдался отнюдь не в единичных случаях. Каждая новая абстракция непременно оказывалась аватарой абстракции высшего порядка. Как пишет Майкл Харрис, «Доступные понятия интерпретируются как аватары недоступных концепций, которые мы пытаемся уловить». А когда математики улавливают новые понятия, они поднимаются по «лестнице» абстракций все выше и выше. Вот на это, утверждает Харрис, и стоит обратить внимание философам: «Если бы вы спросили, какая характеристика современной математики настойчиво требует философского анализа, я бы посоветовал взобраться по лестницам понятий и аватар в поисках смысла, а не искать прочные основания».

А что же там, на самом верху этой лестницы? Вероятно, с лукавой серьезностью предполагает Харрис, там таится «Великая Теорема», из которой и проистекает вся математика, «нечто порядка сансара = нирвана». Но достичь ее невозможно, поскольку к ней ведет бесконечное множество ступеней.

Вот она, драма математики. В отличие от теоретической физики, которая может надеяться на обретение «окончательной теории», описывающей все силы и частицы Вселенной, чистая математика вынуждена признать, что ее поиски истины в последней инстанции ни к чему не приведут. Как отмечает Харрис, «За каждым сорванным покровом таится следующий покров». Математика обречена, по выражению Андре Вейля, на бесконечный цикл «познания и безразличия».

Но не исключено, что все еще хуже. Благодаря второй теореме о неполноте Гёделя, той, которая, грубо говоря, гласит, что математика никогда не докажет собственную непротиворечивость, математики не могут быть абсолютно уверены, что аксиомы, лежащие в основе их трудов, не содержат какое-то логическое противоречие, которое пока никто не обнаружил. Математик Владимир Воеводский, родившийся в Советском Союзе, в своей речи по случаю восьмидесятилетия Института передовых исследований назвал такую возможность «крайне тревожной для любого рационально мыслящего человека». И в самом деле, открытие подобного противоречия может стать смертельным ударом для чистой математики, по крайней мере в том виде, в каком мы знаем ее сейчас. Тогда размоется грань между истинным и ложным, рухнет лестница аватар, а Великая Теорема примет поистине ужасающую форму 0=1.

Но интернет-торговля и финансовые инструменты при этом, как ни странно, не пострадают.

Глава восьмая. Бенуа Мандельброт и открытие фракталов

Бенуа Мандельброт, блистательный польско-франко-американский математик, умерший в 2010 году, обладал поистине поэтическим вкусом к сложности и странности. Гениальное умение подмечать глубинные связи между далекими на первый взгляд явлениями подтолкнуло его к созданию новой области геометрии, расширившей наше понимание как природных форм, так и закономерностей поведения человека. В основу открытия Мандельброта легла простая, но неочевидная мысль о самоподобии. Чтобы понять, что такое самоподобие, рассмотрим всем известный пример – цветную капусту. Возьмите головку этого овоща, изучите ее форму, и вы увидите, что она состоит из соцветий. Отломите одно соцветие. На что оно похоже? На маленькую головку цветной капусты, тоже состоящую из крошечных соцветий. Отломите крошечное соцветие. На что оно похоже? На малюсенькую головку цветной капусты. Если продолжить этот процесс, вскоре потребуется лупа, и вы обнаружите, что все более мелкие кусочки по-прежнему напоминают головку, с которой вы начали. Таким образом, говорят, что головка цветной капусты самоподобна. Каждая ее часть повторяет целое.

В природе встречаются и другие самоподобные предметы и явления, обладающие самой разной формой: облака, береговые линии, молнии, скопления галактик, сеть кровеносных сосудов в нашем организме, а может быть, и последовательности взлетов и падений на финансовом рынке. Чем ближе мы присматриваемся к береговой линии, тем яснее видно, что она не плавная, а зазубренная, и каждый зазубренный сегмент содержит более мелкие и такие же зазубренные сегменты, которые можно описать методами Мандельброта. Поскольку самоподобные формы по природе своей приблизительны и грубоваты, классическая математика не обладает инструментарием для работы с ними. Ее методы со времен древних греков до прошлого столетия лучше подходят для гладких форм вроде окружностей. (Обратите внимание, что окружность не самоподобна: если разбить ее на сегменты чем дальше, тем мельче, то в конце концов они будут практически прямыми).