Идеи с границы познания. Эйнштейн, Гёдель и философия науки

Тут начинается самое интересное: взаимодействиям в одной категории, например, в категории поверхностей, могут тонко подражать взаимодействия в другой, например, в категории алгебр. То есть взаимодействуют уже категории – существует естественный способ переходить из одной в другую и обратно, и он называется функтор. Вооружившись подобным функтором, можно делать очень общие суждения об обеих категориях, не вдаваясь в утомительные подробности природы каждой из них. Можно также отметить, что поскольку категории взаимодействуют друг с другом, они сами составляют категорию – категорию категорий.

Теорию категорий придумали в сороковые годы Сондерс Маклейн из Чикагского университета и Сэмюэль Эйленберг из Колумбийского университета. Поначалу многие математики отнеслись к ней с сомнением и даже прозвали «абстрактной чушью». Разве может такой разжиженный подход к математике, из которой отцежено практически все ее классическое содержание, привести к чему-то, кроме стерильности? Однако Гротендик заставил его засверкать всеми гранями. С 1958 по 1970 год он работал над тем, чтобы при помощи теории категорий создавать новаторские структуры беспрецедентной насыщенности. С тех пор высокоумные абстракции теории категорий нашли применение в теоретической физике, информатике, логике и философии. Французский философ Ален Бадью с восьмидесятых годов опирается на теорию категорий (причем опирается как квалифицированный математик) при исследовании идей бытия и трансцендентности.

Проект Гротендика начался еще с Декарта – это объединение алгебры и геометрии. Их уподобляют инь и ян математики: геометрия – пространство, алгебра – время, геометрия – как живопись, алгебра – как музыка и так далее. Выражаясь не так изысканно, геометрия занимается формами, а алгебра – структурами, в частности, структурой, скрытой в уравнениях. И как показал Декарт, когда изобрел «декартову систему координат», уравнения способны описывать формы: например, уравнение x+y²²=1 описывает окружность с радиусом 1. Оказывается, алгебра и геометрия связаны теснейшим образом и обмениваются «нежными ласками», по выражению Андре Вейля.

Благодаря проницательности Вейля в сороковые годы стало очевидно, что диалектические отношения между алгеброй и геометрией позволяют найти ответ на некоторые самые неподатливые загадки математики. А труды Гротендика подняли эту диалектику на такие высоты абстракции – говорят, они страшили даже великого Вейля – что математикам открылось новое понимание этих загадок. Гротендик заложил основы для многих величайших математических открытий последних десятилетий, в том числе для доказательства Великой теоремы Ферма в 1994 году – колоссального интеллектуального достижения, чья практическая и коммерческая ценность равна нулю.

Гротендик преобразил современную математику. Однако по большей части это преображение – заслуга его куда менее известной предшественницы Эмми Нётер. Именно Эмми Нётер, родившаяся в Баварии в 1882 году, во многом создала абстрактный подход, вдохновивший теорию категорий[12]. Однако она была женщиной в мужском научном мире, и ей отказали в должности профессора в Гёттингене, а факультетские блюстители традиций пытались запретить ей даже читать бесплатные лекции, что и заставило Давида Гильберта, главу немецких математиков, заметить: «Не вижу причин, почему ее пол мешает ей занять эту должность. У нас же университет, а не баня». Эмми Нётер была еврейка, поэтому, когда власть захватили нацисты, бежала в США, где преподавала в Брин-Морском колледже до самой своей смерти (она скончалась от острой инфекции в 1935 году).

У Нётер от природы была интеллектуальная привычка решать задачи, восходя на все более высокие уровни обобщения, и эту склонность разделял и Гротендик, который, как говорили, любил решать задачи не «клин клином вышибая», а повышая уровень моря абстракций, в которых проблема «тонула и растворялась». В его системе представлений знакомые объекты изучения математиков – уравнения, функции, даже геометрические точки – возрождались в виде гораздо более сложных и гибких структур. Все старое казалось лишь тенями, или, как предпочитал называть их Гротендик, «аватарами» нового. (Изначально аватара – земное воплощение индуистского бога; у многих французских математиков при выборе терминов проявлялась слабость к индуистской метафизике, что, вероятно, объясняется авторитетом Андре Вейля, который был не только математиком, но и специалистом по санскриту.)