Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Если не вдаваться в подробности, аксиома выбора гласит, что если X — множество, то существует функция, которая каждому подмножеству S множества X ставит в соответствие некоторый элемент из S. Иначе говоря, если у вас имеется набор множеств (и все они являются подмножествами какого-то одного множества), то вы можете выбрать по одному элементу из каждого.

Эта формулировка представляется вполне безобидной, но неожиданно у аксиомы выбора оказались глубокие следствия. Как мы заметили в разд. 5.11.2, из аксиомы выбора вытекает парадокс Банаха—Тарского. Кроме того, аксиома выбора эквивалентна утверждению о том, что любое множество может быть вполне упорядочено. Это значит, что заданное множество X мы можем снабдить отношением порядка так, что каждое подмножество этого множества обладает наименьшим элементом. Если X — множество действительных чисел, то это утверждение вовсе не очевидно.

Аксиома выбора широко используется в алгебре, логике и теории категорий для построения различных объектов. Существование максимальных идеалов, алгебраических замыканий и многих других элементов опирается на аксиому выбора. Аксиома работает и в анализе; например, в доказательстве теоремы Хана—Банаха.

Бертран Расселл когда-то пошутил: если мне придется выбирать по одному ботинку из каждой из бесконечного множества пар ботинок, я с легкостью смогу сделать это. Но если мне нужно выбрать по одному носку из каждой пары, которых тоже бесконечно много, мне придется прибегать к аксиоме выбора. Что имел в виду Бертран Расселл? С ботинками все просто: достаточно только сказать «Я выбираю левый». Но с носками этот номер не пройдет. Потребуется механизм для выбирания носка из каждой пары. Аксиома выбора и есть такой механизм.

Глава 6. Испытание четырьмя красками

…Язык математики поразительно подходит для формулирования законов физики и это чудо — удивительный подарок, которого мы не понимаем и не заслуживаем. Мы должны быть благодарны за него и надеяться, что он будет действовать и в будущем, что он будет распространяться … на самые разные отрасли знаний.

— Юджин Вигнер

Единственное доказательство видимости предмета заключается в том, что люди на самом деле видят его… Подобным же образом, я полагаю, единственный довод в пользу желательности чего-либо в том, что люди на самом деле желают этого.

— Джон Стюарт Милль

Философы часто отличают математику от физических наук. В то время как естественные науки вынуждены подчиняться реальному миру в ходе экспериментов, математике позволялось более или менее полно царствовать в мире абстракции. Эта ситуация устраивала математиков в течение последних нескольких тысячелетий, но с появлением компьютеров стала меняться.

— Дж. Борвейн, П. Борвейн, Р. Гиргенсон, С. Парнс

6.1 Робкое начало

В 1852 г. Фрэнсис Гутри, выпускник Лондонского университета, поставил вопрос своему брату Фредерику.

Представим себе географическую карту Земли (сферы), на которой есть только страны, — никаких океанов, озер, рек или других водоемов. Единственное правило — каждая страна должна представлять собой единый непрерывный массив без дыр (см. рис. 6.1). Мы с тобой картографы и нам нужно раскрасить карту так, чтобы никакие две соседние страны не были одного цвета (например на рис. 6.2 буквы К, З, С, Ж означают, что соответствующая страна раскрашена красным, зеленым, синим или желтым цветом). Как много красок нужно полиграфисту, чтобы он мог раскрасить любую карту?

Рис. 6.1. Страна из задачи о четырех красках