Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Этот парадокс был открыт несколько столетий назад. Его можно отнести к одной из причин того, что развитие теории вероятностей стартовало на такой зыбкой почве. Разрешение этого парадокса и понимание того, что на самом деле ему не присущи внутренние противоречия, пришли только в конце 1930-х годов. Так что этот парадокс льет воду на нашу мельницу.

Впишем в окружность единичного радиуса равносторонний треугольник, как показано на рис. 5.26. Длину стороны этого треугольника обозначим l. Предположим, что наугад[74]  выбрана хорда d окружности, длину хорды обозначим m. Какова вероятность того, что длина m хорды d превосходит длину l стороны треугольника?

Рис. 5.26. Парадокс Бертрана

Рис. 5.27. Первое решение парадокса Бертрана

Здесь «парадокс» заключается в том, что у задачи есть три разных, но одинаково верных решения. Мы предъявим последовательно все три, а потом покажем, почему у задачи такого рода может оказаться три разных решения.

Первое решение. На рис. 5.27 выделен затемненный открытый диск, граница которого — окружность, касающаяся равностороннего треугольника изнутри. Если середина наугад выбранной хорды d лежит внутри этого диска, то m>l; а если снаружи — то . Вероятность того, что длина хорды больше длины стороны треугольника, равна

Как видно из рис. 5.28, радиус затемненного диска равен , а значит, площадь его равна . Площадь единичного диска равна π. Отношение площадей составляет , поэтому можно сделать вывод: вероятность того, что длина случайной хорды больше стороны правильного треугольника, равна .

Рис. 5.28. Первое решение парадокса Бертрана. Продолжение

Рис. 5.29. Второе решение парадокса Бертрана

Второе решение. Рассмотрим рис. 5.29. Вполне можно считать, что наша наугад выбранная хорда расположена горизонтально (равносторонний треугольник и хорду можно вращать так, что хорда, как и одна из сторон треугольника, расположится горизонтально). Заметим, что если расстояние от самой нижней точки окружности до хорды меньше или равно , то , а если больше (но не превышает единицы), — то m>l. Мы видим, что с вероятностью длина m хорды d больше длины l стороны равностороннего треугольника.

Третье решение. Рассмотрим рис. 5.30. Вполне можно считать, что один конец нашей наугад выбранной хорды совпадает с левой нижней вершиной A вписанного равностороннего треугольника, ведь этого всегда можно добиться, вращая треугольник. Угол, который образует хорда с касательной к окружности в точке A, обозначим θ (см. рис. 5.31). Если величина этого угла заключена в пределах от 0° до 60° включительно, то хорда короче или равна стороне треугольника.

Рис. 5.30. Третье решение парадокса Бертрана

Рис. 5.31. Третье решение парадокса Бертрана. Продолжение

Если же угол находится строго между 60° до 120°, то хорда длиннее стороны. И наконец, если величина угла лежит в пределах от 120° до 180° включительно, то хорда короче стороны треугольника. Поэтому вероятность того, что наугад выбранная хорда длиннее стороны треугольника, равна .

Мы познакомились с тремя решениями задачи, и все они приводят к разным верным ответам: , , . Как могло случиться, что у вполне разумной задачи три совершенно разных ответа? И к тому же верных? Дело в том, что когда мы имеем дело с вероятностным пространством с бесконечным количеством элементарных событий (т. е. с ситуацией, когда число исходов — позиций случайно выбранной хорды — бесконечно велико), существует бесконечно много способов задать вероятности. Обратите внимание, один из них основан на площадях, другой — на высотах и третий — на углах.

Из-за таких парадоксов на протяжении многих лет основания теории вероятностей пользовались дурной репутацией. Это продолжалось до тех пор, пока не была создана ветвь математики под названием «теория меры», именно она и стала инструментом, позволившим заложить основы теории вероятностей. Это сделал замечательный советский математик А. Н. Колмогоров. Об этих основах рассказывается в продвинутых курсах теории меры и теории вероятностей.

5.11.2 Парадокс Банаха—Тарского

Альфред Тарский (1902–1983) — один из пионеров логики XX в. Стефан Банах (1892–1945) — один из величайших специалистов в математическом анализе. В 1924 г. они вместе опубликовали статью о замечательном парадоксе, который мы сейчас опишем. Парадокс возник как побочный продукт интенсивного изучения аксиоматики теории множеств, которым отмечена первая половина XX в.

Парадокс Банаха—Тарского:Можно взять шар радиуса 1, разрезать его на 7 частей, а затем собрать из этих частей два шара радиуса 1 (см. рис. 5.32).

Как такое может быть? По-видимому, утверждение противоречит фундаментальным принципам физики и подрывает наши представления о том, что такое объем или расстояние. В конце концов, мы берем шар объема и делаем из него два общим объемом .