Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Рамануджан получил стипендию, позволившую ему посещать правительственный колледж в Кумбаконаме. Он приступил к учебе в 1904 г. в возрасте 17 лет, но вскоре был отчислен, поскольку тратил все свое время на математику, а остальными предметами пренебрегал. Он самостоятельно изучал гипергеометрические ряды и эллиптические функции.

В 1906 г. Рамануджан предпринял попытку сдать вступительные экзамены в университет Мадраса. Но он выдержал только математическую часть теста и поэтому не поступил.

Все это время здоровье Рамануджана оставалось довольно хрупким. В два года он перенес оспу, а затем еще несколько серьезных заболеваний в подростковом возрасте. В 1909 г. Рамануджан женился на десятилетней девочке по имени Янаки Аммал.

Рамануджану удалось опубликовать некоторые свои идеи об эллиптических функциях и числах Бернулли в журнале Индийского математического общества. Этим он заслужил репутацию молодого математического гения.

В это же самое время Рамануджану приходилось занимать должность низкооплачиваемого клерка, чтобы заработать на жизнь. В поисках поддержки и совета в 1912 и 1913 гг. Рамануджан обратился с письмами к ряду выдающихся британских математиков, включая М. Дж. М. Хилла, Э. У. Гобсона, Х. Ф. Бейкера и Г. Х. Харди. Именно Харди сразу понял, с каким необычным человеком столкнула его судьба, и по достоинству оценил гений Рамануджана; Харди решил что-нибудь сделать для него. Это был поворотный момент в жизни Рамануджана и его математической карьере.

В 1914 г. благодаря Харди Рамануджан прибыл в Тринити-колледж Кембриджского университета. Рамануджан был ортодоксальным брамином, и это значительно затруднило его путешествие. К тому же он был строгим вегетарианцем, и поэтому ему (человеку слабого здоровья) оказалось крайне сложно организовать правильное питание в Британии времен Первой мировой войны. Тем не менее Харди и Рамануджан немедленно приступили к плодотворному и динамичному сотрудничеству.

Но здесь тоже обнаружились свои трудности, и весьма важные для тематики нашей книги. Рамануджану очень недоставало формального образования. Он не видел или не понимал важности математического доказательства. Он просто «видел» факты, проникая в них почти мистически, и оставлял другим позаботиться о том, как эти факты доказывать. Часто Рамануджан был прав в глубоком и важном смысле, но иногда он ошибался. Он полагал, что Бог говорит с ним и посылает ему эти математические озарения. Харди же был одним из самых признанных и влиятельных математиков того времени, для него был неприемлем этот подход Рамануджана. Иногда Харди сам мог построить доказательства, но иногда ему это не удавалось.

К 1919 г. здоровье Рамануджана совсем расшаталось и он вернулся в Индию. Через год он умер; считается, что проблемы со здоровьем могли быть связаны с его диетой или недостатком витаминов (но некоторые полагают, что виной всему был туберкулез).

Рамануждан оставил несколько замечательных тетрадей, в которых записывал свои формулы и идеи. Но не доказательства. До сих пор математики пытаются заполнить все пробелы в этих записях, прорабатывая детали, чтобы мы смогли понять и оценить открытые Рамануджаном поразительные связи в мире чисел. Мы закончим знаменитой историей, иллюстрирующей почти волшебную власть Рамануджана в этом мире.

В конце своего пребывания в Великобритании Рамануджан лежал в госпитале. Его часто навещал его друг и учитель Харди. Однажды Харди, входя, пожаловался: «Я заметил, что ехал на такси номер 1729. Какое неинтересное число!» Рамануждан немедленно ответил: «Нет, Харди, нет! Это очень интересное число! Это самое маленькое число, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя разными способами».

Раз уж Харди стал известен этот факт, доказать его не составило труда. Но как Рамануждан смог до этого догадаться?

5.9 Легенда о Поле Эрдёше

Пол Эрдёш (1913–1996) был очень необычным человеком. Он родился в венгерской семье среднего класса. Родители баловали его беспощадно. Пока ему не исполнился 21 год, он пальцем о палец для себя не ударил — за него все делала его мать, отчасти из-за трепета перед его очевидным необычайным талантом в математике.