Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

• Первое правило Бурбаки — они пишут о какой-то теме, если только она (i) относится к базовому материалу, который должен быть известен каждому студенту, и (ii) математически «мертва». Это второе требование означает, что тема не относится к активно развивающимся в математике. В группе Бурбаки заметное время уделяется дискуссиям о том, на какие темы следует писать книги.

• Затем следует подробное и долгое обсуждение выбранной темы: каковы ее важные компоненты, как они между собой соотносятся; какие результаты представляют собой вехи в развитии и так далее. Если возможны несколько различных подходов (а в математике это часто случается), то они рассматриваются с целью выбрать один, подходящий для книги Бурбаки. Такие обсуждения занимают несколько дней. Встречи прерываются длинными и обильными трапезами в хороших французских ресторанах.

• После того как Бурбаки согласуют тему главы, работа по написанию первого ее черновика может быть поручена любому желающему члену группы. Это дело небыстрое, оно может занять несколько месяцев. Жан Дьедонне, один из основателей Бурбаки, был знаменит умелым и продуктивным писательством. Именно он чаще всего исполнял роль сочинителя первого черновика. Но Дьедонне был плодовитым математиком и писателем сам по себе[70].

• После завершения первого черновика его копии распространяются среди членов Бурбаки. На следующей конференции (так назывались их встречи) новый текст зачитывается строка за строкой, а группа должна достичь единодушного одобрения каждой. Любая часть любой книги Бурбаки должна быть проработана каждым членом. Бурбаки читают каждое слово каждого доказательства пристрастно и критически. А затем группа трижды в год продолжает свои конференции (отдавая должное элегантности французских ресторанов), строка за строкой продвигая книгу. Члены Бурбаки были дружны и высоко ценили друг друга как ученые, но жестоко спорили из-за отдельных слов или предложений в текстах Бурбаки. Они часто подчеркивали, что конфронтация ведет к продуктивной работе скорее, чем единодушие. Итак, тщательная проработка первого черновика будущей книги Бурбаки занимала значительное время.

• После завершения первого черновика начиналась работа с грудой поправок, уточнений и изменений — создание второго черновика. Этим мог заняться автор первого черновика или кто-нибудь другой. А затем весь цикл повторялся.

Создание книги требовало нескольких лет и многих черновиков. Первая книга Бурбаки по теории множеств была опубликована в 1939 г. Новые книги и новые издания старых появлялись до 2005 г. К этому моменту в монументальной серии «Элементы математики» изданы труды по 13 областям. Но многие их них разделены на «главы», так что сложно разобраться, сколько книг вышло из-под пера Бурбаки. Эти книги составляют существенную (хотя и неполную) библиотеку современной математики на уровне выпускников университетов. Выбор тем самый широкий — от абстрактной алгебры до топологии точечных множеств, от групп Ли до действительного анализа.

Язык книг Бурбаки кристально ясен и точен. У Бурбаки очень жесткие представления о математической строгости. Например, в книгах Бурбаки, как правило, рисунков нет! Это правда. Бурбаки считают, что рисунки апеллируют к интуиции, и что поэтому им нет места в чисто математических текстах. Если о математике писать корректно, то идеи должны быть ясны и так — по крайней мере после достаточного обдумывания. Изложение в книгах Бурбаки подчинено строгой логике; начинается с определений и аксиом, за которыми идут леммы, утверждения, теоремы и следствия. Все доказывается строго и точно. Примеров и объяснений мало, в основном только теоремы и доказательства. Не бывает никаких «примем без доказательства», «приведем схему доказательства» или «доказательство мы оставляем читателю в качестве упражнения». В каждом случае Бурбаки дают нам полный комплект.

Книги Бурбаки оказали заметное влияние на современную математику. На протяжении многих лет другие авторы учебников пытались подражать стилю Бурбаки. Среди них Уолтер Рудин; он написал много книг без картинок, придерживаясь строго формального стиля. В 1950-х, 1960-х и 1970-х гг. Бурбаки были законодателями в моде. Эта группа французских математиков с вымышленным именем установила стандарт, которому подчинялись очень многие. Можно сказать, что целое поколение математических текстов плясало под дудку, в которую дули Бурбаки.

Но мода изменчива. Сейчас во Франции широко распространено мнение, что Бурбаки причинили значительный вред французской математике. Как это могло случиться? Система математических ценностей, которую мы описываем в этой книге, неотъемлемая страсть к логике и строгости, все говорит за то, что Бурбаки должны быть героями нашего времени. А вот и нет. В игру вступают другие силы.