Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

В некотором смысле книги Бурбаки были правильными книгами для своего времени. В 1940-х, 1950-х и 1960-х гг. текстов по продвинутой математике было мало. Поэтому книги Бурбаки действительно закрыли зияющую брешь. Сейчас текстов много, и слышны разные голоса из самых разных источников. Кроме того, в математике появились области, не изученные Бурбаки.

У их книг есть такая особенность — они относятся только к чистой математике. Не бывает книг Бурбаки по прикладным уравнениям в частных производных или теории управления, или теоретическому программированию, криптографии, теории графов и по многим другим темам, в которых применяется математика. Кроме того, есть разделы чистой математики, на которые взор Бурбаки не обращался никогда; один пример — теория категорий, а второй — теория чисел. Бурбаки мало что могут сказать о логике. Бурбаки подходят ко всем вопросам — даже в области анализа и геометрии — с очень абстрактной и алгебраичной точки зрения.

Еще одна черта Бурбаки — они отвергают интуицию в каких-бы то ни было проявлениях[71]. Книги Бурбаки обычно не включают объяснений, примеров или эвристических соображений. Одна из главных тем настоящей книги состоит в том, что мы записываем математику для потомков в строго точной, аксиоматичной манере. В этом заключается математическая версия воспроизводимого эксперимента, как он понимается в физике, биологии или химии. Но мы учим математику, мы открываем математику, мы творим ее, опираясь на интуицию и метод проб и ошибок. Мы рисуем картинки. Мы вертим вещи так и этак, гнем их и мнем, чтобы заставить работать. К несчастью, об этом последнем процессе у Бурбаки не сказано ни слова.

Таким образом, хотя Бурбаки подали пример того, как должна выглядеть записанная математика, хотя их работа — блистательный образец строгости и аксиоматического метода, подход Бурбаки вовсе нельзя назвать хорошим и эффективным средством обучения. Так что, в конце концов, Бурбаки не вполне завершили свою высокую элегантную образовательную миссию. Хотя в 1960-х и 1970-х гг. во всем мире было принято использовать тексты Бурбаки в качестве университетских учебников, сейчас от этой практики отказались. Эти книги до сих пор служат справочниками и полезны как самоучители. Но, вообще говоря, существуют гораздо лучшие тексты других авторов. Мы не можем при этом удержаться и не сказать, что эти «другие авторы» учились по Бурбаки. Их влияние до сих пор значительно.

Бурбаки оставили нам в наследство один забавный символ, которым они обозначали трудные места в своих текстах. Читателям, бывавшим в Европе, знаком общепринятый дорожный знак, означающий опасную или извилистую дорогу. На рис. 5.25 как раз изображен знак, который Бурбаки ставит на полях книги возле сложных абзацев; знак этот обозначает математическую опасность. По-видимому, это самый широко распространенный бурбакистский артефакт. Авторы многих книг используют знак «опасный поворот» Бурбаки, чтобы отмечать трудные места в своих текстах[72].

Рис. 5.25. Знак «опасный поворот» Бурбаки

 Давид Гильберт (разд. 5.1) и Николя Бурбаки сыграли важную роль в развитии математики XX в. Можно сказать, что в наше время во всем мире математикой занимаются одинаково. Терминология едина. Стандарты строгости общеприняты. Аксиоматический метод используется всюду одинаково. И мы можем быть благодарны Давиду Гильберту и Николя Бурбаки за то, что они указали нам путь и установили образец, на который можно равняться.

Жан Дьедонне (1906–1992) впадает в эйфорию, описывая, как Бурбаки устанавливали рамки математики: