Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

Пол Халмош (1916–2006) родился в Будапеште, а в возрасте 13 лет переехал в Соединенные Штаты. Из-за ошибки клерка его отправили в одиннадцатый класс вместо восьмого, но он умудрился быстро выучить язык и справиться с учебой. Почти сразу он объявил себя стопроцентным американцем, хотя на всю жизнь сохранил венгерский акцент (в основном потому, что считал его очаровательным).

Халмош получил образование в университете Иллинойса, и в 1938 г. защитил диссертацию под руководством Джозефа Дуба. Это были тяжелые времена, работу найти было невозможно, и дела у Халмоша шли не лучшим образом. Он получил место в Рид-колледже, однако отказался от него, даже не попытавшись поселиться в Портленде. Вместо этого он отправился в Институт высших исследований в Принстоне (формального назначения он так и не получил, а деньги ему одолжил отец) и стал ассистентом Джона фон Неймана. Для Халмоша это был опыт, изменивший всю его жизнь и определивший дальнейшую карьеру.

В 1942 г. Халмош (вдохновленный лекциями фон Неймана) написал первую свою книгу, ее темой стала линейная алгебра. Книга под названием «Конечномерные векторные пространства» сразу же стала классической, а Халмош получил признание как первоклассный автор, доходчиво объясняющий материал. Опыт получил продолжение; всего Халмош написал 18 книг. Они оказали большое влияние на математическую литературу в целом, установив стандарт написания современных математических текстов.

Кроме того, Халмош был замечательным математиком-исследователем. Он внес вклад в широкий ряд тем, от теории операторов до функционального анализа, от эргодической теории до логики и другие. Особенно заметным стало его изобретение понятия субнормального оператора. Долгое время Халмош был движущей силой в теории операторов. Многие помнят его за искусство задавать правильные вопросы.

Халмош был исключительно несговорчивым и никогда не стеснялся высказывать собственное мнение. Одно из самых знаменитых его высказываний —

«Компьютеры важны, но не в математике».

Кроме того, он отличился своей знаменитой статьей

«Прикладная математика — дурная математика».

Правда, в первом же абзаце статьи он указал, что на самом деле вовсе не согласен с тем, что говорит заголовок. Но заголовок никуда не делся и точка зрения была провозглашена.

Карьера Пола Халмоша замечательна тем, что он занимал много различных должностей: в университете Иллинойса, Институте высших исследований, Сиракузском университете, университетах Чикаго, Мичигана, Гавайском, Калифорнийском в Санта-Барбаре, Индианы и Санта-Клары. Халмошу всегда было интересно узнать, что там, за следующим поворотом; для него жизнь, в особенности жизнь в математике — это обязательно приключение.

Самая знаменитая книга Халмоша относится к мемуарному жанру: «Я хочу быть математиком. Автобиография». Она опубликована в 1985 г. и представляет собой искреннее описание жизни не только самого Халмоша, но и многих людей, с которыми его свела судьба. Халмош не тянет кота за хвост, делая откровенные замечания о живущих математиках, о том, как они относились к нему самому. Многие высказывали резкие мнения об этой книге. Тем не менее, «Я хочу быть математиком» представляет собой широкую панораму математической жизни и правдивый отчет о том, что она собой представляет.

Халмош — энергичный математик, редактор, писатель, рассказчик и в особенности учитель. Многие его ученики защитили ученые степени, и все вспоминают его как выдающегося педагога и лектора. Халмош оказывал глубокое влияние на всех, с кем был знаком. Как и Эрдёш, он был чистейшим из чистых математиков. Он формулировал теоремы и доказывал их. Все остальное не имело значения.

5.11 Путаница и парадоксы

Двадцатый век — век вдумчивого изучения оснований математики, которое привело к появлению самых разных парадоксов. Об одном из них — парадоксе Расселла — мы уже говорили в разд. 1.10; сейчас мы расскажем о некоторых других.

Отличительная черта этих парадоксальных результатов в том, что их можно логически корректно вывести из известных нам аксиом теории множеств. Однако эти результаты настолько поразительны, настолько противоречат интуиции, что невольно возникает подозрение в том, что математика внутренне противоречива, а занятия математиков — мартышкин труд.

Но мы, современные математики, знаем, что это не так. Все парадоксы, которые мы здесь обсуждаем, можно объяснить, и мы покажем, что эти объяснения из себя представляют. Чтобы освоиться с этими парадоксами, потребуется время и некоторые усилия.

5.11.1 Парадокс Бертрана