Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

различных способов расположить n объектов. Значит, возможно 6=3! перестановок трех объектов. Именно поэтому в таблице шесть строк. В ней перечислены все способы, которыми можно расположить за тремя дверями автомобиль и двух козлов.

1. В первом случае Монти Холл отворит первую или вторую дверь. Игроку нет смысла менять свой выбор, ведь сейчас за выбранной дверью находится автомобиль, так что в этом случае ответ на вопрос задачи — «Нет».

2. Второй случай похож на первый, здесь тоже нет смысла менять выбор; мы опять отвечаем «Нет».

3. В третьем случае Монти Холл отворит первую дверь, за которой прячется козел, так что игроку выгодно изменить свой выбор. В этом случае ответ «Да».

4. Четвертый случай похож на третий, ответ «Да».

5. В пятом случае Монти Холл отворит вторую дверь. Игроку выгоднее изменить выбор, ответ — «Да».

6. Шестой случай похож на пятый, и мы в последний раз даем ответ «Да».

Заметим, что в результате подробного анализа всех случаев мы четырежды получили «Да» и дважды — «Нет». Это означает, что со счетом два к одному выигрывает предложение сменить выбор двери после того, как Монти Холл отворит дверь и явит миру козла. Иначе говоря, с вероятностью игрок улучшит свои шансы на выигрыш, сменив выбор двери.

История обсуждения в обществе задачи Монти Холла забавна и тревожна одновременно. Читателю может быть известно имя Мэрилин вос Савант (р. 1946) — она стала популярной благодаря своей колонке в газете; «вос Савант» — ненастоящее ее имя, настоящее — Мэрилин Мач. Фамилию «вос Савант» ей подарила любимая тетушка. Мэрилин вос Савант знаменита тем, что у нее самый высокий IQ в истории (хотя поговаривают, в Китае есть чудо-ребенок с коэффициентом IQ еще выше). Газетная колонка под названием «Спроси Мэрилин» процветала именно благодаря такой интеллектуальной мощи. Мэрилин очень умна и умеет доходчиво отвечать на самые сложные вопросы (и не стесняется обращаться к экспертам, столкнувшись с задачей, которая ей не по плечу). Она редко ошибается, хотя существует сайт «Мэрилин ошибается!» (http://www.wiskit.com/marilyn.html), где разбираются некоторые из ее оплошностей.

Мэрилин вос Савант получила образование в Сент-Луисе (тянет меня сюда). Она училась в Мерамекском колледже, но не закончила его. Кроме того, она слушала лекции в университете Вашингтона (как и я), но не закончила и его. Она вышла замуж за Роберта К. Ярвика (того самого, который изобрел искусственное сердце) и переехала в Нью-Йорк.

Мэрилин вос Савант особенно прославилась после того, как один из ее читателей (говорят, что это Стив Селвин) написал ей письмо с вопросом о задаче Монти Холла. Мэрилин проверила факты и привела в своей колонке верное решение, которое мы обсудили выше. О горе! Более 10000 читателей, среди них около 1000 профессиональных математиков (многие писали от имени университета), написали Мэрилин о том, что в своих рассуждениях она неправа. И некоторые несильно стеснялись в выражениях. Это было стихийное бедствие для американской математики.

Я должен сказать, что все эти обстоятельства сказались на Мэрилин вос Савант. После того как Эндрю Уайлс опубликовал свое доказательство Великой теоремы Ферма, Мэрилин вос Савант опубликовала небольшую книгу [SAV], в которой объясняла, что в доказательстве есть изъяны. Ее дерзкая эскапада основывалась на двух положениях:

1) она доказала, что комплексные числа не существуют (а значит, использование этих чисел Уайлсом незаконно);

2) она заметила, что Уайлс использует гиперболическую геометрию, которая допускает квадратуру круга; но ведь всем известно, что квадратура круга невозможна — вот и противоречие!

Я писал Мэрилин вос Савант и ее издателю, указывая на оплошности в книге [SAV]. И она ответила! «Мы с моими друзьями-математиками от души посмеялись над вашим письмом. Продолжайте далее в том же духе». Такие вот методы ведения научной дискуссии.

Мартин Гарднер особенно огорчался из-за благодарностей за проверку математических выкладок в книге [SAV]. Он утверждал, что он ничего не проверял. Барри Мазура из Гарварда тоже просили проверить математику, но ему удалось избежать этой участи.

5.11.4 Аксиома выбора

Мы уже упоминали аксиому выбора, обсуждая парадокс Банаха—Тарского.

Аксиома выбора Цермело (формально принятая в 1904 г., но изученная ранее) стала одним из жупелов математики XX в. В нашем обсуждении аксиомы выбора мы используем понятие «подмножества». Множество Y называется подмножеством множества X, если каждый элемент множества Y является элементом множества X. Например, пусть X — множество положительных целых чисел, а Y — множество {2,4,6,8}. Тогда Y — подмножество множества X; мы обозначаем этот факт .