Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

На самом деле парадокс Банаха—Тарского допускает еще более драматичную формулировку. Вполне можно взять шар радиуса 1, разрезать его на конечное количество частей и собрать из них полноразмерную копию Эмпайр Стейт Билдинг (рис. 5.33).

Как можно объяснить такое противоречие? И опять все дело в теории меры, основы которой заложил Анри Лебег (1875–1941) в 1901 г. Цель теории меры — назначить «меру», т. е. размер или объем каждому множеству. Оказывается, — это следует из аксиомы выбора, о ней мы расскажем ниже, — что эта цель недостижима. Любая попытка назначить меру каждому множеству обречена на неудачу. Иначе говоря, задаются множества (они должны удовлетворять конкретному критерию), называемые измеримыми[75].

Рис. 5.32. Парадокс Банаха—Тарского

Рис. 5.33. Парадокс Банаха—Тарского. Продолжение

Только этим множествам мы можем приписать меру и быть уверенными (в силу математической теории), что при этом не возникнет никаких противоречий. Остальные множества называются неизмеримыми. Все попытки приписать меру неизмеримым множествам гарантированно приводят к неприятностям.

Долго ли, коротко ли, семь множеств из парадокса Банаха—Тарского неизмеримы. Они не обладают лестными для нашей интуиции свойствами, которых мы ожидаем от меры на множествах. В частности, одно из требований к мере заключается в том, что если A и B — два непересекающихся множества, то мера объединения A и B должна быть равна сумме мер A и B. Для измеримых множеств так оно и есть, это можно доказать. А для неизмеримых — увы! — все не так, как хотелось бы.

В наши дни теория меры тщательно проработана; ее принято использовать в действительном анализе, теории Фурье, теории вейвлетов, сжатии изображений, обработке сигналов и многих других областях математики. Математики приветствуют такое использование, пока внимание ограничивается измеримыми множествами. Все мы знаем о парадоксе Банаха—Тарского и бежим от него как от чумы. Очень интересно о нем рассказывается в работе [WAG]; [JEC] также представляет интерес.

5.11.3 Задача Монти Холла

Строго говоря, это вовсе не парадокс (хотя некоторые специалисты считают его парадоксом чистой воды). Здесь нет речи о высокоуровневом нарушении оснований нашей науки вроде тех, о которых шла речь в предыдущих двух примерах. Но здесь мы сталкиваемся еще с одной ситуацией, когда математические рассуждения противоречат нашей интуиции и приводят к неожиданным результатам. Ну и надо еще добавить, что эта история получила большой отклик в американской математике.

Задача Монти Холла стала широко известна в последние несколько лет. К этому привело телевизионное шоу «Сделай ставку» — игра, которую ведет Монти Холл. Ее правила в упрощенном варианте таковы. Перед игроком три двери. Он знает, что за одной из них — очень ценный приз, например модный автомобиль. За каждой из двух других — что-то скверное и вовсе нежелательное, вроде козла, см. рис. 5.34. Игрок не знает, что прячется за каждой дверью (а вот ведущий Монти Холл знает!) и наугад выбирает ту, за которой находится предназначенный ему приз. Но ведущий дразнит игрока, подначивает его сменить свой выбор и всячески старается сбить его с толку.

Задача, получившая известность под названием «Задача Монти Холла», звучит так: Игрок выбирает дверь. Для простоты мы будем считать, что он выбирает дверь номер 3. Прежде чем отворить эту дверь и продемонстрировать, что за ней скрыто, Монти Холл объявляет: «А сейчас я покажу, что прячется за одной из двух оставшихся дверей». Одну дверь открывают — за ней козел[76]. Затем Монти Холл спрашивает: «Не хотите ли изменить свой выбор?» Тут-то и начинается самое интересное: стоит игроку изменить выбор или следует придерживаться первоначального?

Рис. 5.34. Задача Монти Холла

Понятно, что игрок не станет выбирать уже отворенную дверь, — за ней рожки да ножки, это никому не интересно. Так что вопрос в том, стоит ли игроку менять свой выбор и указать на оставшуюся дверь (ее не выбрал ни игрок и ни Монти Холл). Простодушный человек может предположить, что козел с равной вероятностью может оказаться и за оставшейся дверью, и за той, на которую первоначально указал игрок. В конце концов, затворены только две двери, за одной прячется козел, за другой — автомобиль; какой смысл в такой ситуации менять свой выбор? Однако простодушный человек не учитывает тот факт, что козлов в задаче два и они отличаются друг от друга. Для решения задачи мы проведем более тщательный анализ, что приведет к поразительному ответу.

Мы решим задачу Монти Холла, рассмотрев все мыслимые случаи. Обозначим козлов буквами K₁ и K₂, а автомобиль — буквой A. Для простоты мы будем считать, что первоначально игрок всегда выбирает третью дверь. Однако мы не можем предположить, что Монти Холл всегда отворяет первую дверь, ведь за ней необязательно спрятан козел. Нам следует рассмотреть такие случаи:

В общем случае существует