В ходе этого разговора Бобби с Добрыниным была намечена реальная основа для компромисса. Добрынин передал дословно слова брата президента США: «Мы должны получить ответ из Кремля сегодня же, в воскресенье. Осталось очень мало времени для разрешения проблемы».
По признанию тогдашнего министра обороны США Роберта Макнамары, с военной точки зрения ракеты «Юпитер» были устаревшими, однако в ходе неофициальных переговоров Турция и НАТО выступали резко против включения подобного пункта в официальное соглашение с Советским Союзом, так как это было бы сочтено проявлением слабости США и ставило бы под сомнение гарантии США по защите Турции и других союзников по Североатлантическому договору.
Хрущев вспоминал: «Кульминация наступила, когда нам сообщил советский посол в США Добрынин, что к нему пришел с неофициальным визитом брат президента – Роберт Кеннеди. Он так описывал его внешний вид: Роберт выглядел очень усталым, глаза у него – красные-красные, было видно, что он ночь не спал, да и сам он потом сказал об этом. Роберт сообщил Добрынину, что вообще шесть дней не был дома, не видел своих детей и жену, что они с президентом сидят в Белом доме и бьются над вопросом о наших ракетах. И добавил: «У нас напряжение очень сильное, опасность войны велика, прошу передать вашему правительству и лично Хрущеву, чтобы он учел это. Президент готовит обращение через закрытые каналы и очень просит, чтобы Хрущев принял его предложения». Роберт прямо говорил, что положение угрожающее, поэтому президент лично писал это послание.
Роберт заявил также, что президент сам не знает, как выйти из этого положения, а военные оказывают на него сильное давление, настаивая прибегнуть к военной акции в отношении Кубы, и у президента складывается очень сложное положение. Он добавил: «Вы должны учесть особенности нашей государственной системы. Президенту трудно. Даже если он не захочет, не пожелает войны, то помимо его воли может свершиться непоправимое. Поэтому президент просит: помогите нам решить эту задачу». Роберт оставил нашему послу свой телефон и просил звонить в любое время суток. Он очень нервно настаивал и взывал к благоразумию, просил помочь президенту выйти из этой ситуации».
Слова Роберта Кеннеди о том, что война может возникнуть помимо воли президента, намекавшие, по всей видимости, на позицию американских военных, очевидно, были просто обычным шантажом и должны были заставить Хрущева как можно быстрее принять решение убрать ракеты с Кубы. В действительности в американской системе власти существовал и существует достаточно жесткий контроль политиков над военными, и начать полномасштабную войну или военную интервенцию может только президент.
Как утверждал Хрущев, американцы понимали, что в случае вторжения советский гарнизон на Кубе обречен, но опасались советского ответа в Германии.
Никита Сергеевич сразу же продиктовал официальный ответ, где согласился убрать ракеты с Кубы, а также продиктовал два конфиденциальных письма лично Кеннеди, где подтвердил получение обращения Роберта Кеннеди, равно как и то, что он расценивает это послание как согласие на то, чтобы убрать американские ракеты из Турции.
Хрущев запретил Плиеву использовать зенитное оружие против американских самолетов. Он также приказал вернуть на аэродромы все советские самолеты, патрулирующие Карибское море. Чтобы весть о согласии вывести ракеты быстрее дошла до Вашингтона, было решено транслировать хрущевское послание по радио. Трансляция началась в 16.00 по московскому времени. За час до ее начала Малиновский послал Плиеву приказ начать демонтаж стартовых площадок Р-12, чтобы это могли сразу же засечь американские самолеты-разведчики.
Утром 28-го в Кремль пришло сообщение от Кеннеди, где было сказано: «1) Вы согласитесь вывести свои системы вооружения с Кубы под соответствующим наблюдением представителей ООН, а также предпринять, с соблюдением соответствующих мер безопасности, шаги по остановке поставок таких же систем вооружения на Кубу. 2) Мы же, со своей стороны, согласимся – при условии создания с помощью ООН системы адекватных мер, обеспечивающих выполнение данных обязательств, – а) быстро отменить введенные в настоящий момент блокадные мероприятия и б) дать гарантии ненападения на Кубу. Я уверен, что и остальные государства Западного полушария будут готовы поступить подобным образом».
Таким образом, Хрущев согласился убрать с Кубы ракеты средней дальности в обмен на гарантии американского ненападения на Остров свободы.