Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Умнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дленіе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ род 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенств знаетъ способъ послдовательнаго дленія, т.е. когда большее число длится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій длитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ труд ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго длителя, на котораго затмъ и остается раздлить числителя и знаменателя. Кром того, въ средніе вка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить ¹⁴/₂₁. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себ прежняго знаменателя; въ нашемъ примр достаточно помножить 14 на 3, получится 42, длимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвтъ составить 2/3 . Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счет.

Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не измняется и, слд., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., здсь сама дробь смшивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встрчается еще и сейчасъ въ нмецкой литератур: verkleinern — уменьшеніе, вмсто слова сокращеніе.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю встрчалосъ еще у древнихъ египтянъ, хотя они предпочитали обходиться безъ него. Общимъ знаменателемъ у нихъ не всегда было наименьшее кратное число; напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀, они не брали обязательно числа 60 и не замняли данныхъ дробей чрезъ 52/60 и 21/60; они пользовались знаменателемъ и 120 и 300 и т. п., и выражали предыдущія дроби чрезъ ¹⁰⁴/₁₂₀ и ⁴²/₁₂₀, ²⁶⁰/₃₀₀ и ¹⁰⁵/₃₀₀. Мало того, знаменателемъ выбиралось иногда такое число, которое вовсе не длилось на данныхъ знаменателей. Попытаемся, напр., привести дроби ¹³/₁₅ и ⁷/₂₀ къ общему знаменателю 30, тогда получится ²⁶/₃₀ и 10 1/2 тридцатыхъ, такъ какъ тридцатыя доли въ полтора раза мельче двадцатыхъ. Такимъ образомъ, мы видимъ, что древніе египтяне не стснялись формой числителя и допускали дробныхъ числителей. Это указываетъ на значительное пониманіе ими свойствъ дробей: они, слд., вникали въ ихъ смыслъ, умли обращаться съ ними свободно и увренно и примняли ихъ, смотря по удобству, къ различнымъ особенностямъ задачъ. Средневковая ариметика уступаетъ въ этомъ отношеніи древней. Въ ней гораздо больше механизма, заученныхъ правилъ, строго очерченныхъ пріемовъ, и поэтому гораздо меньше свободнаго соображенія. Это обусловливается общимъ отпечаткомъ средневковой науки, какъ исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать въ суть и вертвшейся на формахъ. Въ XVI в. по Р. X. учебники относительно этого говорили кратко и внушительно: «перемножъ крестъ-накрестъ, затмъ перемножь знаменателей!» Косой крестъ считался даже знакомъ приведенія дробей къ одному знаменателю, потому что онъ лучше всего указывалъ порядокъ вычисленія: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой, — это будутъ числители, общимъ же знаменателемъ будетъ произведеніе данныхъ знаменателей. Похоже на это, и знакомъ дленія дробей служилъ въ то время косой крестъ, потому что и при дленіи надо множить крестъ на крестъ, т.-е. числителя одной дроби на знаменателя другой.