Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Такъ же и во второмъ примр приведемъ сперва вычитаемое къ должному виду и тогда уже произведемъ дйствіе; 3 1/2 x2 1/2 x

= 7 1/3 , 10 - 7 1/3 = 2 2/3 . Совершенно нельзя понять, къ чему требовалось математикамъ затруднять сложеніе и вычитаніе дробей особенными правилами, какъ обращаться съ долями долей, а между тмъ эти правила разсматривались на нсколькихъ страницахъ, занимавшихъ много параграфовъ, требовали большого количества упражненій и приносили только вредъ, такъ какъ на нихъ безъ пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши дти не изучаютъ отдльныхъ правилъ, какъ складывать или вычитать доли долей, и въ этомъ отношеніи имъ легко. Будемъ же надяться, что подобно этому отдлу исчезнетъ въ учебникахъ и другой лишній отдлъ — нахожденіе частей цлаго, и присоединится туда, гд ему настоящее мсто, т. е. къ умноженю дробей.

Замтимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ примнялось такое обозначеше:

,которое должно показывать ⁴/₅ отъ ³/₇ отъ 5/8 , т.-е. окончательно ³/₁₄. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула

равна, согласна нашему порядку,

всего 22²⁴/₃₅, а формула

равна

Вотъ какая путаница вносилась этимъ отдломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отдлъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было смшивать съ другимъ дйствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гд разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ смшиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ помщено было отдльное разъясненіе «о разумніи, что есть доли изъ долей».

Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отдльному дйствію. Обособляться оно стало только въ средніе вка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ простйшихъ частей числа, тмъ боле, что даже и въ цлыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе ¹/₃₆ на 1/3 совершается по римскимъ образцамъ слдующимъ образомъ: ¹/₃₆ обращается въ доли фунта; въ фунт 12 унцій, слд., унція равна ¹/₁₂, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь ¹/₃₆ обратилась въ 8 скрупуловъ; 1/3 равна 1/3 фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь 1/3 фунта на 1/3 унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается ¹/₉ унціи, иначе сказать 2 2/3 скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою мру, которая называется «emisescla», то окончательный отвтъ представится въ вид 1 1/3 «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.

У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ нтъ вычисленія съ унціями, и дло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число длитъ на перваго знаменателя и, затмъ, уже это частное длитъ на второго знаменателя.

Петръ Рамусъ, знаменитый французскій математикъ и философъ XVI столтія, даетъ въ глав о дробяхъ, какъ и въ другихъ отдлахъ математики, много свжихъ и новыхъ мыслей. Онъ особенно настаиваетъ на томъ, что ученикамъ надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать ихъ наизусть, и что правила надо выводить, а не только примнять готовыя къ примрамъ. Однако, самъ Рамусъ, вслдствіе той туманности, которую придавали ариметик его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведетъ свое изложеніе, такъ что въ случа умноженія дробей мы находимі, у него такой запутанный выводъ: «дано умножить 3/4 на 2/3 , это значитъ найти 3/4 части отъ дроби 2/3 ; разсуждаемъ по тройному правилу—1 относится къ 3, какъ 2 къ 6, и 1 относится къ 4, какъ 3 къ 12, слдовательно, отвтъ будетъ : ⁶/₁₂ это и есть произведеніе 2/3 на 3/4 ».

Русскіе математики XVII и XVIII в. слдовали въ глав объ умноженіи западно-европейскiмъ образцамъ. Они разсматривали 3 случая: a) умноженіе дроби на цлое, b) умноженіе дроби на дробь и c) умноженіе смшанныхъ чиселъ. Въ конц, въ такъ наз. «строк генераль» давалось общее правило перемноженія дробей. Неизмняемость произведенія при перестановк производителей объяснялась въ такихъ выраженіяхъ:

«вдаи доли изъ доли умноженіе, какъ 1/3 изъ 1/4 умножаи придетъ ¹/₁₂ такожъ 1/4 изъ 1/3 то-жъ ¹/₁₂».

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ дйствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.