Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Механическое правило, по которому дроби приводятся къ одному знаменателю, касалоеь не только двухъ дробей, но и нсколькихъ. Дано, напр., выразить въ одинаковыхъ доляхъ ⁴/₁₅, ⁷/₂₀, ⁹/₂₅. Тогда составляли сперва произведеніе 15 на 20 и приводили первыя дв дроби въ такой видъ: ⁸⁰/₃₀₀, ¹⁰⁵/₃₀₀. Потомъ составляли произведеніе 300 на 25 и получали общимъ знаменателемъ число 7500, такъ что 3 данныхъ дроби превращались уже въ ²⁰⁰⁰/₇₅₀₀, ²⁶²⁵/₇₅₀₀, ²⁷⁰⁰/₇₅₀₀. Знаменатель, какъ видимъ, возросъ до значительной величины, и все оттого, что математики не научились пользоваться наименьшимъ кратнымъ данныхъ знаменателей. У Магницкаго дроби 2/3 , 3/4 , ⁵/₆, ⁴/₅ приведены къ знаменателю 360, вмсто того, чтобы имъ имть общаго знаменателя 60; у него получаются такіе отвты: ²⁴⁰/₃₆₀, ²⁷⁰/₃₆₀, ³⁰⁰/₃₆₀, ²⁶⁸/₃₆₀ посл ряда длинныхъ вычисленій, занимающихъ цлую страницу книги. Даже въ ариметик Степана Румовскаго (С.-Петерб., 1760 г.) дроби 1/3 и ²/₉ приводятся къ обще-му знаменателю 27, а не 9, какъ это сдлали бы мы. Изъ всего этого видно, что правило, по которому общ. знаменателемъ должно служить наименьшее кратное, является сравнительно новымъ правиломъ и замнялось прежде тмъ порядкомъ, что общій знаменатель составлялся прямо перемноженіемъ данныхъ знаменателей.

Дйствія надъ простыми дробями.

Въ настоящее время принято во всхъ учебникахъ, чтобы дйствія надъ дробями шли въ такомъ порядк: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дленіе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и дленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались тмъ, что для умноженія и дленія не надо приводить къ общему знаменателю и, слд., эти два дйствія гораздо легче тхъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва нсколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отмтимъ только ту, которая касается сложенія нсколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только дв дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до послдней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. умли, впрочемъ, складывать нсколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе всхъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были помщены суммы наиболе употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебник таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.

Вычитаніе. Древніе египтяне замняли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вмсто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это везд длается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у

(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единиц); они ршали этотъ вопросъ слдующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11 1/4 , 5 1/2 , 1/8 , 4 1/2 , 1 1/2 , 1, будетъ всего 23 1/2 1/4 1/8 ; до 2/3 не хватаетъ

; всего до 1 не хватаетъ 1/3 ¹/₉¹/₄₀ —это есть отвтъ. Читатель, наврное, понялъ, что здсь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.

Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Тмъ не мене нахожденіе частей числа почему-то отдлялось и отдляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 арим. дйствіямъ. Почему все это такъ, и гд кроется корень недоразумнія, — объяснить трудно, такъ какъ исторія ариметики не даетъ надежнаго ключа къ разгадк. Но любопытно сопоставить это дло съ другимъ недоразумніемъ, которое нсколько вковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь чмъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно слдующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кром чиселъ цлыхъ и дробей, встрчались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ вид входили въ дйствіе. Лучше всего пояснить это на примр: сложить 2/3 отъ ⁴/₅ отъ ⁵/₆ съ 7/8 отъ ⁹/₁₀, или еще: изъ 10 вычесть 3 2/3 отъ 2 1/2 отъ ⁴/₅. Ясно, что здсь невычисленныя формулы, и что прежде чмъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится 2/3 отъ ⁴/₅⁵/₆= ⁴⁰/₉₀ = ⁴/₉;

⁵/₆ отъ 7/8 отъ ⁹/₁₀ =

, теперь эти дроби возможно сложить, и въ сумм будетъ