Как предсказать курс доллара. Эффективные методы прогнозирования с использованием Excel и EViews

Несмотря на высказанные опасения, многие авторитетные специалисты полагают, что в случае больших выборок уравнения авторегрессии позволяют получать состоятельные и эффективные оценки. Вот как, например, оценивает авторегрессионные модели профессор статистики Стэнфордского университета Т. Андерсон: «Модель авторегрессии обладает рядом преимуществ по сравнению с моделью скользящего среднего и процессом авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего, хотя последние в определенных случаях могут хорошо описывать образование наблюдаемых временных рядов. Оценки коэффициентов процесса авторегрессии легко вычисляются. Статистические процедуры для такого процесса, основывающиеся на теории больших выборок, легко выполнимы, поскольку они соответствуют обычной технике наименьших квадратов. Во многих случаях коэффициенты процесса авторегрессии допускают непосредственную интерпретацию, а линейные функции от запаздывающих переменных могут быть использованы для прогнозирования»[10].

Следует заметить, что в зависимости от того, сколько предыдущих значений временного ряда будет включено в уравнение авторегрессии в качестве лаговых (факторных) переменных, принято различать авторегрессионные процессы разного порядка. Так, в формуле (3.1) представлен авторегрессионный процесс 1-го порядка, который в англоязычной литературе обычно называется словосочетанием Auto Regressive и кратко обозначается как AR(1).

Например, в том случае, когда в авторегрессию 1-го порядка добавляются лаговые переменные Y_t-2 и Y_t-3, его принято обозначать как AR(3), т. е. как авторегрессионный процесс 3-го порядка. При этом уравнение для AR(3) примет следующий вид:

Y_t = с+b₁Y_t-1 +b₂Y_t-2+b₃Y_t-3+e_t, (3.2)

где Y_t-1, Y_t-2 и Y_t-3 — независимые (факторные) переменные с лагом в один, два и три месяца;

b₁, b₂ и b₃ — соответствующие коэффициенты регрессии при лаговых переменных.

3.2. Специфика уравнений авторегрессии со скользящим средним (ARMA)

Помимо авторегрессионных моделей нам необходимо также познакомиться и с моделями со скользящим средним в остатках, которые в англоязычной литературе обычно называются словосочетанием Moving Average. Полезность моделей со скользящим средним в остатках обусловлена тем, что для стационарного ряда предсказываемую переменную Y_t можно представить в виде линейной функции прошлых ошибок (отклонений прогнозов от их фактических значений). Следует иметь в виду, что термин «скользящая средняя» в данном случае не является синонимом скользящей средней, применяемой, например, для сезонного сглаживания уровней динамического ряда. При этом модель со скользящим средним в остатках 1-го порядка кратко обозначается как МА(1), а в виде формулы она приобретает следующий вид:

Объединение в одной модели авторегрессионного процесса AR и модели со скользящим средним в остатках МА приводит к созданию более экономичной модели с точки зрения количества используемых параметров. Эту объединенную модель в англоязычной литературе кратко называют ARMA. Эта аббревиатура произошла от словосочетания Auto Regressive — Moving Average, что в переводе означает «авторегрессионный процесс со скользящим средним в остатках».

Порядок в этой модели в буквенной форме принято обозначать как ARMA(p, q), где р — величина порядка авторегрессионного процесса, a q — величина порядка процесса со скользящим средним в остатках. Например, модель ARMA(2; 1) фактически представляет собой комбинацию модели AR(2) с моделью МА(1), т. е. в одной модели объединена авторегрессионная модель 2-го порядка с моделью со скользящим средним в остатках 1-го порядка. В результате модель ARMA(2; 1) приобретает следующий вид:

Чтобы объединенная модель ARMA(2; 1) была более понятна, ее можно задать в виде двух уравнений. Так, для AR(2) формула будет иметь вид

в то время как уравнение для МА(1) можно представить в следующем виде:

Следовательно, формулу (3.4) модели ARMA(2; 1) можно получить путем вычитания из формулы (3.5) расчетного параметра Ое, из левой части уравнения (3.6).

3.3. Коррелограмма и идентификация лаговых переменных в уравнениях AR и ARMA

При практическом построении модели ARMA(/? q) наиболее трудным является определение параметров ряд, т. е. определение оптимального количества лагов. При этом инструментами для нахождения соответствующих лаговых переменных являются автокорреляционная функция и частная автокорреляционная функция.

Программа EViews позволяет довольно быстро найти оптимальные параметры р и q для модели ARMA, для этого используется коррелограмма зависимости между различными лагами временного ряда с ежемесячными курсами американского доллара к российскому рублю.

Алгоритм действий № 5

Как построить коррелограмму в EViews

Шаг 1. Выбор основных опций для построения коррелограммы