Капуста, неверные мужья и зебра. Загадки и головоломки для развития критического мышления

Теперь посмотрим на верхний треугольник на рисунке. Я построил отрезки от центра круга до каждой из его сторон. Каждый отрезок образует со стороной треугольника прямой угол, а значит, этот треугольник состоит из квадрата b × b и двух фигур в форме воздушного змея. Длинная сторона воздушного змея, смотрящая влево, составляет 3b, поскольку она равна стороне большого квадрата минус радиус круга B. А исходя из того, что воздушные змеи симметричны, вторая сторона змея также должна быть 3b. Если обозначить символом x сторону воздушного змея, смотрящую направо, то с помощью теоремы Пифагора получим:

(3b + x)² = (b + x)² + (4b)².

Раскрыв скобки в уравнении, будем иметь:

9b² + 6bx + x² = b² + 2bx + x² + 16b².

Сокращение даст нам следующий результат:

4bx = 8b².

Отсюда следует:

x = 2b.

Вертикальная сторона верхнего треугольника равна x + b = 2b + b = 3b. Вертикальная сторона нижнего треугольника равна 4b. Учитывая, что эти два треугольника одинаковой формы (хотя и разных размеров), соотношение их сторон, равное  должно быть эквивалентно отношению радиусов кругов, вписанных в эти треугольники, равному b/c.

Если  то

Теперь у нас есть c, выраженное через b, и b, выраженное через a. Следовательно, c можно выразить через a в таком виде:

К тексту

37. ШАГАЯ ПО ТАТАМИ

К тексту

38. 15 ТАТАМИ

Представленная на рисунке схема укладки татами взята из 1641-го издания самого популярного в Японии учебника математики XVII столетия под названием Jinkoki («Дзинкоки» – «Большие и малые числа»).

К тексту

39. ТАТАМИ НОБА

К тексту

40. КОМНАТА С ЛЕСТНИЦАМИ в углах

Пол комнаты размером 6 × 6 метров с вырезанными углами нельзя устелить семнадцатью татами. Раскрасив квадраты подобно клеткам на шахматной доске (как показано ниже), вы поймете почему. Каждый мат татами должен покрыть как серый, так и белый квадрат. Следовательно, чтобы устелить пол комнаты татами, в ней должно быть равное количество серых и белых квадратов. Но в этой комнате два дополнительных белых квадрата, поэтому решить головоломку невозможно.

Как правило, в вариациях этой задачи используются костяшки домино и усеченная шахматная доска. Можно ли выложить костями домино размером в две шахматные клетки шахматную доску с вырезанными противоположными углами? Опять же ответ «нет» – по тем же причинам.

К тексту

41. КОМНАТА С ДВУМЯ ЛЕСТНИЦАМИ, РАСПОЛОЖЕННЫМИ В СЛУЧАЙНОМ ПОРЯДКЕ

Мы решим эту задачу с помощью оригинального метода, придуманного Ральфом Гомори, который в 1970-х годах был директором IBM по исследованиям и разработкам. Хотя Гомори решал вариант этой головоломки с костями домино и шахматной доской, наше доказательство будет аналогичным. Для начала нарисуйте путь, который проходит через каждый квадрат только один раз, как показано на рисунке. На втором рисунке я в произвольном порядке удалил один серый и один белый квадрат, чтобы разместить там лестницы, разделяющие этот путь на два сегмента. Каждый из сегментов должен покрывать четное количество квадратов, а значит, его можно выстелить татами. Этот аргумент верен для всех путей и любых вариантов выбора двух квадратов разных цветов.

К тексту

42. ГОЛОВОЛОМКА С ДЕРЕВЯННЫМИ БЛОКАМИ

Эту задачу предложил сингапурец Джозеф Йоу Бун Вуй, автор головоломки о дне рождения Шерил (задача 21), который впервые прочитал о ней в 1980-х годах. Самое очевидное решение показано на рисунке А. Это так называемое слуховое (мансардное) окно – вертикальное окно, врезанное в скат крыши (как любезно подсказали мне многие из архитекторов). Задача решается еще двумя способами: B и C.

К тексту

43. КАРТИНА НА СТЕНЕ

Эту головоломку можно решить с помощью физики (фу!) или – математики (класс!). Как и следовало ожидать, первое решение менее изящное, чем второе. Забейте два гвоздя в стену настолько близко, чтобы часть веревки была крепко зажата между ними. Сложите веревку в форме буквы W посредине так, чтобы направленный вверх кончик буквы W находился между гвоздями. Картина будет висеть, поскольку гвозди держат веревку в нужном месте. Однако если вынуть один из гвоздей, она упадет. Некрасиво, но вполне эффективно.

А вот более элегантное решение.

Впрочем, этот способ решения не один из моих любимых. Я надеялся, что вы используете для поиска ответа кольца Борромео, приняв во внимание мои прозрачные намеки на то, что эти кольца представляют собой математическую модель искомого решения. В случае удаления одного кольца два других разъединяются.

В этой головоломке три элемента – два гвоздя и веревка, и если удалить один из них, то все три тут же отделяются друг от друга. Трудность лишь в том, чтобы понять, как представить два гвоздя и веревку в виде колец Борромео, поскольку ни гвозди, ни веревка совсем на них не похожи.