Книга 1. Звезды свидетельствуют

Теперь вернемся к звездному каталогу. Мы хотим проверить, существует ли систематическая ошибка в какой-то его части и, если существует, определить ее. Пусть сначала не стоит проблема датировки, то есть мы наверняка знаем дату составления каталога t_А (здесь «А», конечно же, означает Альмагест, но все рассуждения верны и для любых других каталогов). Тогда нужно сравнить истинные координаты звезд на момент t_А (известные из современных точных каталогов) со значениями координат из изучаемого каталога, относящиеся к исследуемой его части. При этом сравнении, как и в примере с мишенью, нужно найти среднее отклонение сравниваемых координат. Пусть общее число звезд в избранной области равно N. Обозначим через l_i и L_i соответственно эклиптикальную долготу i-й звезды в изучаемом каталоге и точное значение ее долготы. Аналогично, обозначим b_i и B_i эклиптикальные широты i-й звезды (в каталоге и точное значение). Тогда средняя (систематическая) ошибка по долготе равняется,

а систематическая ошибка по широте

Эти ошибки, как уже сказано, могли произойти из-за неправильного определения плоскости эклиптики и ряда других, вообще говоря, неизвестных нам причин. Причины мы так и не выявим (впрочем, сделаем некоторые предположения на их счет), а вот ошибку, вызванную ими, скомпенсируем. Для этого нужно, попросту, изменить систему координат каталога (аналогично тому, как мы это сделали в примере с мишенью) так, чтобы результирующие средние долготные и широтные ошибки равнялись нулю.

0.2. Реализация метода

В данном пункте мы покажем, как конкретно реализуется общая идея, описанная выше.

Прежде всего, отметим, что мы будем компенсировать только широтную ошибку. Причины тому названы ранее и мы лишь упомянем здесь, что это позволяет уменьшить ошибку расчетов, что существенно ввиду низкой точности древних каталогов.

Итак, у нас есть каталог, из которого мы выбрали большую группу звезд в количестве N с координатами (l_i, b_i)^N_i=1. в результате отождествления мы знаем их «двойников» из современного каталога. Обозначим координаты этих двойников, рассчитанные на момент t, через (L_i(t), B_i(t))^N_i=1. Теперь предположим, что мы хотим проверить, какова была бы систематическая широтная ошибка в предположении, что дата составления каталога есть t_A. Обозначим L^А_i = L_i(t_A), B^A_i = B_i(t_A) и введем широтную невязку ΔB^A_i = B^A_i — b_i.

Наша цель — минимизировать величину

меняя систему координат, то есть, попросту, проводя новую координатную сетку, отличную от принятой в каталоге.

Изменение координатной сетки можно параметризовать двумя величинами, если мы рассматриваем задачу минимизации указанного выше выражения: γ и φ. Объясним их значение. Они показаны на приведенном ниже рис. 5.1. Здесь γ — угол между реальной эклиптикой и эклиптикой каталога, а φ — угол между прямой равноденствия и прямой пересечения реальной эклиптики с эклиптикой каталога.

Итак, минимизируя указанное выше выражение, можно найти значения γ_stat и φ_stat, параметризующие изменение системы координат и дающие исходный минимум. Их явный вид приведен ниже, в формулах (5.5.2) и (5.5.3).

Величина σ_min является остаточной (после компенсации систематической ошибки) среднеквадратичной широтной ошибкой. Явный вид формулы для остаточной дисперсии σ_min см. ниже после формулы (5.5.10). Он получается подстановкой γ_stat и φ_stat в качестве параметров в выражение для среднеквадратичного отклонения. Вывод этих формул приведен ниже.

Однако, мы не можем считать, что нашли систематическую ошибку (вернее, параметры γ_stat и φ_stat ее характеризующие) абсолютно точно. Дело в том, что индивидуальные ошибки измерения, носящие случайный характер, также влияют на значения γ_stat и φ_stat. Следовательно, мы можем лишь утверждать, что истинные значения систематической ошибки лежат где-то неподалеку от γ_stat и φ_stat.

Чтобы сделать утверждение более точным, введем понятие доверительного интервала. Зададимся некоторым уровнем доверия 1 — ε. Если, например, ε = 0,1, то уровень доверия равен 0,9. Уровень доверия представляет собой вероятность, с которой мы гарантируем точность своих результатов. Доверительный же интервал представляет собой отрезок, накрывающий неизвестное нам истинное значение параметра с вероятностью не меньшей 1 — ε. Обозначим

I_γ(ε) = [γ_stat — x_ε, γ_stat + x_ε]

— доверительный интервал для истинного значения параметра γ, и

I_φ(ε) = [φ_stat — y_ε, φ_stat + y_ε]

— доверительный интервал для истинного значения параметра φ. Можно показать (см. ниже), что значения x_ε и y_ε можно вычислить по формулам

x_ε = q_ε, y_ε = q_ε,

где q_ε представляет собой (1 — ε/2) — квантиль стандартного нормального распределения, который находится из таблиц.

Итак, если мы задаемся некоторым уровнем доверия 1 — ε, то с вероятностью не меньшей 1 — ε можно гарантировать принадлежность истинного значения γ интервалу I_γ(ε) и значения φ- интервалу I_φ(ε).