Книга 1. Звезды свидетельствуют

Рассмотрим некоторую совокупность звезд, например, созвездие или группу созвездий. Определим групповую ошибку в широтных координатах этих звезд как погрешность в определении широт звезд из этой совокупности, проистекающую из перемещения рассматриваемой звездной конфигурации как единого целого по сфере. Следовательно, — и это обстоятельство мы особо подчеркнем, так как оно существенно используется в дальнейшем, — любое подмножество этой конфигурации также перемешается по сфере как единое целое и на тот же угол, что и вся конфигурация. Такое перемещение имеет три степени свободы, то есть может быть описано тремя параметрами. Определим их.

На рис. 5.1 наглядно изображена соответствующая картина. На звездной сфере с центром в точке O нанесено положение реальной эклиптики на момент времени t_А. На эклиптике обозначены точки Q и R соответственно весеннего и осеннего равноденствий. Точка P отмечает северный полюс эклиптики. Точка E изображает положение некоторой звезды. Как уже говорилось, все групповые ошибки, для фиксированной группы звезд, в эклиптикальной широте, совершаемые составителем каталога, можно без ограничения общности считать следствием неправильного определения полюса эклиптики, то есть, результатом того, что вместо точки P на небесной сфере он принял в качестве полюса точку P_A.

Рис 5.1. Параметры, определяющие систематическую ошибку.

Этой точке соответствует возмущенная эклиптика, которая названа на рис. 5.1 эклиптикой каталога. Ее положение можно однозначно задать следующими двумя параметрами. Во-первых, угол γ между прямыми OP и ОР_А, или, что то же самое, плоский угол между плоскостями реальной эклиптики и эклиптики каталога. Во-вторых, угол φ между прямой равноденствий RQ и прямой CD, образованной пересечением плоскостей реальной эклиптики и эклиптики каталога. Такая параметризация удобна для аналитических целей. Однако далее мы будем иногда наряду с φ использовать величину β, которая интерпретируется следующим образом, рис. 5.1. Смещение эклиптики «разлагается» на два поворота — вокруг оси равноденствия RQ на угол γ и вокруг оси, лежащей также в плоскости эклиптики и перпендикулярной оси RQ, на угол β. Итак, β представляет собой величину дуги Q_AQ, являющейся частью большого круга, проходящего через полюс Р_А и точку Q. Астрономический смысл точки Q_A весьма прозрачен. Это точка весеннего равноденствия на эклиптике каталога. Ясно, что углы γ и φ однозначно определяют углы γ и β, и наоборот. Искомую связь мы находим из сферического прямоугольного треугольника CQ_AQ. Здесь угол при вершине Q_A — прямой, угол при вершине C равен γ, а длина дуги CQ равна β. В результате получаем:

sin β = sin γ × sin φ. (5.2.1)

Третья степень свободы заключается в повороте сферы вокруг оси P_AP'_A, рис. 5.1. Но такой поворот меняет лишь долготы звезд и не меняет их широты. Поэтому эту степень свободы мы не рассматриваем. Отметим, что вместо указанных параметров можно выбрать любые другие базисные параметры, задающие вращение сферы. Ясно, что это не влияет на дальнейшее построение.

Посмотрим теперь, как искажаются истинные координаты звезды i при наличии такой систематической ошибки. Истинные широта и долгота этой звезды равны соответственно длинам дуг ЕЕ' и QE', отсчитываемым по часовой стрелке, если смотреть с полюса Р. Искаженные широта и долгота b_i, l_i равны соответственно длинам дуг EE_A и Q_AE_A. Отметим, что широты звезд, у которых истинная долгота больше долготы точки D и меньше долготы точки C, уменьшаются, а остальные — увеличиваются, рис. 5.1. Этот вывод справедлив, строго говоря, не для всех звезд. Он неверен для звезд, расположенных вблизи полюсов Р и Р' и находящихся на угловом расстоянии γ (или менее) от них. Однако, поскольку γ мало, звезд в такой маленькой области очень немного. Среди звезд Альмагеста их практически нет. Как мы увидим, величина γ составляет около 20′.

Учитывая малость величины у, можно предложить следующую приближенную формулу для широтной невязки:

ΔB^A_i = γ × sin (L^A_i + φ). (5.2.2)

Иначе говоря, систематическую погрешность определения широт звезд можно изобразить синусоидой, показанной на рис. 5.2. Она очень похожа на кривую, обнаруженную ранее К. Петерсом и Е. Кнобелем [1339] при обработке каталога Альмагеста. Погрешность формулы (5.2.2) не превышает 1′ для звезд, у которых |b_A| ≤ 80°. Такая погрешность является для нас несущественной, и мы в дальнейшем говорить о ней не будем, считая формулу (5.2.1) абсолютно точной. Для корректности мы исключим из рассмотрения звезды, имеющие широты более 80 градусов по абсолютной величине. В дальнейшем в этой главе речь будет идти о систематической погрешности, поскольку излагаемые методы работают в предположении, что рассматривается большая совокупность звезд. Проверка того, что найденная погрешность совпадает (или не совпадает) с групповыми ошибками отдельных созвездий, представляет собой самостоятельную задачу. Применительно к Альмагесту она рассматривается ниже, в главе 6.