Книга 1. Звезды свидетельствуют

s_bcos φ + c_bsin φ = γ [s₂cos² φ + 2 d cos φ sin φ + c₂ sin² φ], (5.3.4)

— c_bcos φ + s_bsin φ = γ [-d cos² φ + (s₂- c₂) cos φ sin φ + d sin² φ]. (5.3.5)

Разделив уравнение (5.3.4) на (5.3.5), получим

Приведя обе части этого равенства к общему знаменателю, приходим к следующему уравнению относительно tan φ:

(1 + tan² φ)(c_bs₂ — s_bd) + (1 + tan² φ) tan φ (c_bd — s_bc₂) = 0.

Отсюда легко найти тангенс оптимального значения φ_stat:

Равенство (5.3.6) позволяет однозначно определить φ_stat, после чего оптимальная величина γ_stat может быть найдена, например, из (5.3.4):

Формулы (5.3.6) и (5.3.7) дают искомое решение задачи нахождения оценок γ_stat(t) и φ_stat(t) методом наименьших квадратов.

Полезно провести анализ чувствительности в этой задаче. Рассмотрим частные производные второго порядка функции σ²(γ, φ, t) по γ и φ:

Учитывая равенства (5.3.4)-(5.3.7), нетрудно получить для этих частных производных следующие выражения:

a₁₁= 2(s₂cos² φ_stat + 2d cos φ_statsin φ_stat + c₂sin² φ_stat) = (2/γ_stat)(s_bcos φ_stat + c_bsin φ_stat),

a₁₂= 2(c_bcos φ_stat — s_bsin φ_stat), (5.3.8)

a₂₂= 2γ²_stat(s₂sin² φ_stat — 2d sin φ_statcos φ_stat + c₂cos² φ_stat).

Для оценки погрешностей в определении величины среднеквадратичной ошибки σ(γ, φ, t) при отклонении значений γ и φ от найденных оптимальных величин γ_stat(t) и φ_stat(t) воспользуемся следующим разложением функции σ²(γ, φ, t) в окрестности точки (γ(t), φ(t)):

σ²(γ, φ, t) ≈ σ²_min+ a₁₁(t) (γ — γ_stat(t))²+ 2a₁₂(t)(γ — γ_stat(t))(φ — φ_stat(t)) + a₂₂(t)(φ — φ_stat(t))². (5.3.9)

В последней формуле мы пренебрегли членами третьего и более высоких порядков малости по отношению к разностям γ — γ_stat(t) и φ — φ_stat(t).

Формула (5.3.9) позволяет элементарными средствами оценить чувствительность среднеквадратичной ошибки σ(γ, φ, t) к вариациям параметров γ и φ. Для этого достаточно определить величины a₁₁, а₁₂ и а₂₂, входящие в правую часть (5.3.9). После вычисления оценок γ_stat(t) и φ_stat(t) их легко найти по формуле (5.3.8).

Формула (5.3.9) показывает, что «линии уровня» среднеквадратичных ошибок являются эллипсами на плоскости (γ, φ). См. рис. 5.3.

Рис. 5.3. Линии уровня среднеквадратичной ошибки σ(γ, φ, t) при фиксированном t.

Центром эллипса является точка (оценок γ_stat, φ_stat), в которой значение среднеквадратичной ошибки равно σ_min. Направления осей эллипсов и соотношение между ними определяются стандартными формулами аналитической геометрии через величины а₁₁, а₁₂, а₂₂, а именно, угол наклона α одной из осей эллипса определяется соотношением:

Вторая ось перпендикулярна ей. Длины осей относятся друг к другу как λ₁/λ₂, где λ₁ и λ₂ — корни квадратного уравнения λ² — λ(a₁₁ + а₂₂) + (а₁₁а₂₂ — а²₁₂) = 0.

4. Изменение параметров γ stat (t) и φ stat (t) с течением времени

Выше мы предполагали, что момент времени t фиксирован. Сейчас мы рассмотрим поведение найденных величин γ_stat(t) и φ_stat(t) в зависимости от времени.

Это поведение можно определить из формул, приведенных в предыдущем разделе. В них входят величины L_i(t) и B_i(t), которые и порождают зависимость γ_stat(t) и φ_stat(t) от времени. Изменение долгот L_i(t) и широт B_i(t) со временем — вещь хорошо изученная. См. главу 1. Соответствующие, достаточно громоздкие, расчеты проделаны нами с помощью компьютера при численном нахождении зависимостей оценок γ_stat(t) и φ_stat(t) от времени. См. главу 6. Здесь мы пока ограничимся анализом лишь качественного поведения этих функций.

Рассмотрим вновь звездную сферу и будем здесь считать для простоты, что все звезды на ней неподвижны. Таким образом, мы возвращаемся сейчас к представлениям Птолемея, хотя делаем это только ради упрощения рассуждений и выкладок. Мы можем так поступить, поскольку количество звезд, имеющих заметную скорость собственного движения, — то есть смещающихся на расстояние нескольких дуговых минут за рассматриваемый промежуток времени в 2500 лет, — сравнительно невелико. Наличие таких звезд практически не влияет на оценки параметров γ_stat(t) и φ_stat(t), которыми мы сейчас занимаемся.

На рис. 5.4 изображена звездная сфера и реальная эклиптика эпохи t_A составления каталога. Полезно сравнить рис. 5.1 и рис. 5.4. В неизвестную нам эпоху t_A полюс эклиптики P(t_A) занимал некоторое, вполне определенное, положение на сфере. Составитель каталога, конечно же, отметил эклиптику на звездной сфере не идеально точно. Поэтому полюс Р_А отмеченной им «эклиптики каталога» занял положение, вообще говоря, отличное от P(t_A).

Рис. 5.4. Геометрия определения углов φ и γ на звездной сфере.