Книга 1. Звезды свидетельствуют

Мы, однако, будем работать с углом γ. Он имеет содержательный смысл: это — ошибка в определении угла наклона между плоскостями экватора и эклиптики. Заметим, что этот угол фиксируется, например, в армиллярной сфере. Следовательно, ошибка γ, допущенная в этом угле, может являться инструментальной ошибкой армиллярной сферы. См. главу 1. Таким образом, ошибка γ естественным образом возникает при астрономических измерениях. Кроме того, выбор γ в качестве параметра будет нами далее обоснован и со статистической точки зрения.

5. Статистические свойства оценок γ stat и φ stat

Сейчас мы подойдем к задаче оценки параметров γ и φ, задающих систематическую ошибку каталога, как к задаче статистической. Для этого поступим так. Пусть составитель каталога в момент времени t_А совершил систематическую ошибку, задаваемую параметрами γ_А и φ_А. Пусть, кроме того, широта каждой измеренной им звезды подвергалась, — вследствие ошибки наблюдения, — случайному возмущению ξ имеющему нулевое среднее, то есть Eξ_i = 0. Предполагается, что случайные погрешности ξ_i, отвечающие различным звездам, независимы и имеют одно и то же распределение. Пусть σ² = Еξ²_i — дисперсия случайной величины ξ_i. Эта дисперсия нам, вообще говоря, неизвестна.

В этих предположениях широта i-той звезды в каталоге будет иметь вид

b_i = В_i(t_A) — γ_А sin (L_i(t_А) + φ_A) + ξ_i. (5.5.1)

Со статистической точки зрения мы имеем выборку, состоящую из N реализаций случайных величин {b_i}^N_i=1, вида (5.5.1). По этой выборке требуется определить статистические оценки γ' и φ' параметров γ_А и φ_А, а также оценить величину σ, представляющую собой среднеквадратичную ошибку наблюдения. Мы сразу ограничим задачу и будем изучать оценки φ' = φ_stat и γ' = γ_stat, получаемые методом наименьших квадратов. Эти оценки имеют вид (5.3.6), (5.3.7). Основное внимание будет уделено оценке величины γ_А по причинам, объясненным в конце раздела 4.

Равенство (5.5.1) имеет вид, традиционный для регрессионного анализа. В самом деле, это равенство утверждает, что ошибка наблюдения Δb_i = B_i(t_A) — b_i является случайной величиной со средним γ_А sin (L_i(t_A) + φ_А), зависящим от неизвестных параметров γ_А и φ_А, и дисперсией σ². Требуется оценить значения неизвестных параметров методом наименьших квадратов и установить статистические свойства полученных оценок. В такой постановке кривую Y(x) = γ_A sin (x + φ_А) обычно называют линией регрессии.

Определим величины φ и γ с помощью соотношений (5.3.6) и (5.3.7). Отклонения Δb_i случайны по предположению. Поэтому и получаемые из соотношений (5.3.6) и (5.3.7) оценки φ_stat и γ_stat, также являются случайными величинами. Изучим их статистические свойства и рассмотрим, как они связаны с истинными, но неизвестными нам, значениями φ_А и γ_А.

Подставим в приведенные выше формулы для s_b и c_b вместо Δb_i разность γ_А × sin (L_i(t_A) + φ_А) — ξ_i и используем эту подстановку в формулах (5.3.6), (5.3.7). Получим следующие выражения для величин φ_stat и γ_stat:

Введем величину R = (γ_A(d² — s₂ c₂) cos φ_А)^-1

Тогда (5.5.2) можно записать в виде

Из условия Eξ_i = 0 находим, что полученная оценка параметра γ_stat является несмещенной, то есть Eγ_stat = γ_A.

Дисперсия же оценки γ_stat, обозначаемая D_γ, имеет вид

Если ошибки наблюдения ξ_i нормально распределены, то и величина γ_stat является нормально распределенной, и первые два момента (5.5.5) и (5.5.6) полностью определяют ее распределение. Этот факт даст нам возможность построить доверительный интервал для значения γ_А. Анализ оценки φ_stat несколько более сложен. Воспользуемся следующим равенством, получаемым из (5.5.4):

и тем фактом, что при больших N второе слагаемое в знаменателе правой части (5.5.7) — величина малая. В самом деле, эта величина — случайная с нулевым средним и дисперсией

Если ξ_i нормально распределены, то и рассматриваемая величина также нормально распределена. Из этого факта для каталога Альмагеста следует, что уже для N = 30 вероятность p_n того, что знаменатель правой части (5.5.7) будет отрицательным, не превосходит 5 × 10^-3. С ростом N данная вероятность быстро убывает: p₅₀ ≤ 2,5 × 10^-4, p₈₀ ≤ 4 × 10^-6, p₁₀₀ ≤ 3 × 10^-7, p₂₀₀ ≤ 8 × 10^-13, р₃₀₀ ≤ 2,5 × 10^-18.

Из формулы (5.5.7) следует, что, вообще говоря, E tan φ_stat tan φ_A. Однако из этой формулы легко получить функцию распределения F(x) случайной величины tan φ_stat — tan φ_A, необходимую при нахождении доверительного интервала для φ_А. В самом деле, если пренебречь тем маловероятным случаем, что знаменатель в (5.5.7) становится отрицательным, то из этой формулы получается выражение для F(x):

F(x) = P(tan φ_stat — tan φ_A < x) = Р(η_x < x),

где случайная величина η_х имеет вид

Следовательно, если величины ξ_i нормально распределены с дисперсией σ², то и величина η_x имеет гауссовское распределение со средним, равным нулю, и дисперсией

Следовательно,

где