Книга 1. Звезды свидетельствуют

Найденные выше значения γ_stat и φ_stat являются, как говорят, точечными оценками неизвестных параметров γ_А и φ_А. Поскольку найдены функции распределения этих оценок, то можно исследовать вопрос об их возможной погрешности. Дадим ответ на этот вопрос в стандартных терминах доверительных интервалов, основываясь на формулах (5.5.5), (5.5.6), (5.5.8), (5.5.9).

В математической статистике задача нахождения доверительного интервала порождена ситуацией, которую поясним на примере оценки величины γ_А. Эта величина является вполне определенной, детерминированной ошибкой, сделанной составителем каталога. В результате статистической оценки γ_А, — в нашем случае по методу наименьших квадратов — получается случайная величина γ_stat. Возникает вопрос, какие границы можно указать для неизвестной нам величины γ_А, если мы определили γ_stat?

Чтобы границы эти не оказались тривиальными, необходимо задать допустимую вероятность ошибки, то есть, вероятность указать такие границы, в которых истинное значение γ_А не лежит. Обозначим допустимую вероятность ошибки через ε. Тогда уровень доверия будет равен 1 — ε. Случайная величина γ_stat распределена по нормальному закону с параметрами, задаваемыми формулами (5.5.5) и (5.5.6). Поэтому при x > 0 имеем

Определим величину ε/2-квантили нормального распределения x_ε из уравнения

или, что то же, из уравнения Ф(-√D_γx_ε) = ε/2.

Тогда интервал I_γ(ε) = (γ_stat — x_ε, γ_stat + x_ε). (5.5.10)

представляет собой доверительный интервал для γ_А с уровнем доверия 1 — ε. Это следует из того, что P(|γ_stat — γ_А| ≥ x_ε) = ε.

При определении величины x_ε мы, в частности, использовали значение D_γ, которое зависит от неизвестных нам параметров σ² и φ_А. Как это обычно делается в математической статистике, вместо σ² подставим в формулу для D_γ сходящуюся к ней остаточную дисперсию

определяемую формулой (5.3.3), а вместо φ_А — величину φ_stat. Момент t_А составления каталога нам также неизвестен, поэтому все перечисленные выше вычисления необходимо проделать для всех моментов времени t с тем, чтобы оценить систематическую ошибку γ_stat(t), φ_stat(t) при условии, что каталог был составлен в произвольную фиксированную эпоху t. Аналогичным образом можно найти доверительный интервал для φ_А с уровнем доверия 1 — ε. Этот интервал I_φ(ε) будет таким:

где y_ε — решение уравнения F(y_ε) — F(-y_ε) = 1 — ε, в котором функция распределения F задана равенством (5.5.9), то есть ε/2-квантиль соответствующего нормального распределения.

Замечание. Полученные выше оценки истинных значений ошибок γ и φ в каталоге, как функций предполагаемой датировки, важны не только для того, чтобы их скомпенсировать, но и для косвенной проверки правильности предлагаемого подхода. Например, если бы в качестве γ_stat получилась величина, в несколько раз превышающая точность каталога, это указывало бы на какие-то неучтенные нами существенные эффекты.

Однако если речь идет лишь о датировке, то само значение γ_stat в соответствующей процедуре не участвует. Нам необходимо лишь знание длины соответствующего доверительного интервала. Поэтому возможно существенное упрощение вычислений, состоящее в следующем. Вычисляются γ_stat и φ_stat, относящиеся к любому фиксированному моменту времени t₀. Например, к 1900 году, для чего не требуется использования уравнений Ньюкомба. Тогда вместо кривых γ_stat(t) и φ_stat(t) мы получим постоянные значения, соответствующие ошибкам наблюдений, но только не в координатах эпохи наблюдений, а в координатах эпохи 1900 года. Затем вокруг этих постоянных значений откладываются доверительные интервалы, ширина которых от t не зависит. В результате статистической процедуры датировки, описываемой ниже, будет получен тот же интервал возможных датировок каталога, что и при оценивании ошибок γ и φ относительно координат на эпоху предполагаемой датировки t. Единственная информация, которая при этом будет потеряна, — это оценки истинных значений величин γ_stat и φ_stat.

6. Выводы

ВЫВОД 1. Групповая ошибка звездной конфигурации сводится к перемещению этой конфигурации как единого целого по небесной сфере. Данное перемещение, при учете лишь широтных невязок, можно параметризовать двумя параметрами, а именно, γ и φ, либо γ и β.

ВЫВОД 2. Существующие в каталоге широтные невязки могут быть уменьшены за счет компенсации групповых ошибок.

ВЫВОД 3. Если в большой части каталога групповые ошибки совпадают, то эта общая ошибка называется систематической и может быть обнаружена статистическими методами.

При условии, что каталог составлен в эпоху t значения параметров φ(t) и γ(t) оцениваются методом наименьших квадратов. Соответствующие оценки γ_stat(t) и φ_stat(t) имеют вид (5.3.6) и (5.3.7) соответственно.

ВЫВОД 4. Знания значений γ_stat(t₁) и φ_stat(t₂) для двух различных моментов времени достаточно для восстановления функций γ_stat(t) и φ_stat(t).