Книга 1. Звезды свидетельствуют

Проведем через полюс P(t_A) дугу большого круга, соединяющую его с точками весеннего равноденствия Q и осеннего равноденствия R. Дополнительно проведем через P(t_A) дугу большого круга D(t_A)D'(t_A), пересекающую только что построенную дугу QP(t_A)R под прямым углом в точке P(t_A). Если бы дата t_A была нам известна, то метод наименьших квадратов, описанный в разделе 3, позволил бы найти параметры γ и φ, определяющие взаимное расположение эклиптики эпохи t_A и эклиптики каталога. Из рис. 5.4 следует, что эти же углы определяют и взаимное положение полюсов P(t_A) и Р_А на звездной сфере, а именно, величина γ равна длине дуги P(t_A)P_A, в дуговых величинах, а угол φ равен углу P_AP(t_A)D'(t_A). С течением времени, как отмечалось в главе 1, положение эклиптики на звездной сфере изменяется. Это — эффект колебания эклиптики. Поэтому полюс эклиптики в момент t, отличный от t_A, окажется в точке P(t), также отличной от P(t_A). Траектория полюса эклиптики на звездной сфере показана на рис. 5.4 пунктирной линией, проходящей через точки P(t) и P(t_A). И тогда, чтобы совместить эклиптику эпохи t и эклиптику каталога, нужно совместить полюса Р_А и P(t). Длина дуги P(t)P_A равна величине γ_stat(t). Положение же оси вращения эклиптики, обеспечивающего данное совмещение, можно параметризовать углом P_AP(t)D'(t), где дуга D(t)D'(t) «параллельна» дуге D(t_A)D'(t_A).

Чтобы разобраться в качественном поведении функций γ_stat(t) и φ_stat(t), обратимся к плоскому рисунку, где изобразим лишь перемещение полюсов эклиптики. Это допустимо, поскольку величины их смешений заведомо лежат в пределах одного градуса. Перенесем с рис. 5.4 на плоскость картину вблизи северного полюса эклиптики, рис. 5.5.

Рис. 5.5. Определение качественной зависимости γ_stat(t) и φ_stat(t) от времени.

Как видно из рис. 5.5, реальный полюс эклиптики с течением времени перемещается вследствие колебания эклиптики. На рассматриваемом интервале времени данное перемещение составляет всего около 25′. Поэтому его можно изобразить отрезком прямой. См. пунктирную прямую на рис. 5.5. Движение полюса эклиптики вдоль этой прямой с большой точностью можно считать равномерным. Поэтому, например, расстояние между полюсами P(t) и P(t_A) равно v(t_A — t), где v — скорость движения полюса эклиптики. Эта скорость равна приблизительно 0,01′ в год. Как уже говорилось, в эпоху наблюдений t_А, из-за ошибки в положении эклиптики, сделанной составителем каталога, полюс эклиптики каталога попал в точку Р_А, отличную от P(t_A). Если при этом перпендикуляр, опущенный из точки Р_А на траекторию движения полюса эклиптики, пересек ее в точке t* > t_А, как изображено на рис. 5.5, то такая ошибка составителя, очевидно, «старит» эклиптику каталога, а именно, эклиптика каталога точнее всего будет отвечать эклиптике года t*. В противном случае, — то есть если указанный перпендикуляр пересек траекторию в точке t*< t_A — ошибка автора, напротив, «омолаживает» каталог. Чтобы дать представление о реальных соотношениях величин, укажем, что для Альмагеста расстояние между полюсом Р(0) эклиптики на 1900 год н. э. и полюсом Р(19) на начало нашей эры составляет около 20′. Приблизительно такое же значение имеет и ошибка γ_stat(t_A).

Как было сказано, величина γ_stat(t_A) равна длине отрезка Р(t_А)Р_А, а φ_stat(t_A) — углу Р_АР(t_А)D'(t_А). Аналогично, γ_stat(t_A) = P(t)Р_А. Здесь чертой сверху обозначена длина отрезка. Однако угол P_AP(t)D'(t) не равен φ_stat(t_A), поскольку к моменту t ось весеннего равноденствия сместилась на величину ω(t_A — t). Здесь ω — угловая скорость прецессии, равная приблизительно 50″ в год. См. главу 1. Это смещение соответствует на рис. 5.5 величине угла D'(t)P(t)S(t). Таким образом, φ_stat(t) = ∠P_AP(t)S(t), причем ∠D'(t)P(t)S(t) = ω(t_A — t).

Чтобы не использовать далее столь громоздкие обозначения, положим

x(t) = P(t)P(t_A),

y = P(t_A)P(t^*),

z = P_AP(t^*),

ψ(t) = ∠ P_AP(t)D'(t),

δ = ∠ D(t_A)P(t_A)P(t).

Величину γ_stat(t_A) можно назвать ошибкой определения эклиптики. Для Альмагеста она имеет порядок 20′. Угол δ не зависит от t и равен углу между направлением движения полюса эклиптики и определенной ранее прямой D(t_A)D'(t_A). Очевидно, что z = γ_stat(t_A) sin (δ — φ_stat(t_A)), y = γ_stat(t_A) cos (δ — φ_stat(t_A)).

Поскольку x(t) = v(t_A — t), то из рис. 5.5 следует, что

Очевидно, что эта функция достигает минимального значения при t = t*. Если же рассматривается случай |t — t_А| << |t_А — t*|, то функция γ_stat(t) ведет себя практически как линейная: γ_stat(t) = γ_stat(t_A) + v cos (δ — φ_stat(t_A))(t_A — t).

Нетрудно найти также функцию φ_stat(t):

И вновь, если |t — t_А| << |t_А — t*|, можно воспользоваться линейным приближением: