Книга 1. Звезды свидетельствуют

Рис. 5.2. Зависимость систематической широтной невязки от долготы.

В предположении, что известно время t_A составления каталога, можно определить параметры γ и φ, задающие систематическую ошибку, следующим образом.

1) Вычислим на момент времени t_А истинные ширóты и долгóты для всех звезд из рассматриваемой совокупности.

2) найдем параметры γ* и φ*, дающие решение задачи

σ²(γ*, φ*) → min, (5.2.3)

где

Если бы в каталоге не было других ошибок, кроме систематических, соотношение (5.2.3) превратилось бы в уравнение σ²(γ*, φ*) = 0. Однако наличие случайных ошибок в координатах звезд делает минимум в (5.2.3) отличным от нуля.

В нашем случае момент t_A составления каталога неизвестен. Поэтому мы вынуждены рассчитывать систематические ошибки для всех значений t из рассматриваемого интервала 0 ≤ t ≤ 25, а именно, для каждого t определяются положение реальной эклиптики и ось равноденствия. Затем, как и на рис. 5.1, вводятся параметры γ = γ(t), φ = φ(t) и β = β(t), задающие взаимное положение эклиптики эпохи t и эклиптики каталога. Значения величин γ(t) и φ(t) находятся как решение задачи

Опять-таки, если бы мы имели идеальный случай и каталог не содержал бы других ошибок, кроме систематических, то соотношение (5.2.4) можно было бы, пренебрегая исключительно слабыми эффектами от собственного движения звезд, записать как уравнение σ²(γ(t), φ(t), t) = 0.

По поводу эффектов от собственного движения напомним, что количество заметно движущихся звезд на небе очень мало по сравнению со всеми звездами Альмагеста. Решение последнего уравнения существовало бы при всех t, но дату t_A определить из такого уравнения невозможно. Тем более ее нельзя найти из соотношения (5.2.4), заменяющего указанное уравнение в реальном случае каталога со случайными ошибками. Можно вычислить лишь систематическую ошибку как функцию предполагаемой датировки t. Эта ошибка, естественно, зависит от предполагаемой датировки — благодаря колебанию эклиптики со временем. Именно поэтому мы здесь говорим не о датировке каталога, а о нахождении его систематической ошибки как функции предполагаемой датировки t.

В реальном каталоге, кроме указанной систематической ошибки, присутствуют и случайные ошибки. Поэтому отклонения B_i(t) — b_i являются случайными величинами, значения которых разбросаны вокруг синусоиды их среднего значения, изображенной на рис. 5.2. В предположении, что остальные погрешности каталога, кроме систематических, носят случайный характер, задача определения γ(t) и φ(t) является задачей определения параметров регрессии.

3. Определение параметров γ(t) и φ(t) методом наименьших квадратов

Найдем решение γ(t) и φ(t) задачи минимизации (5.2.4), (5.2.5). Ниже, в конкретных примерах, эта задача рассматривается для совокупностей, состоящих из различного количества звезд. Поэтому в расчетах мы будем использовать следующие нормированные величины, в которых N означает число звезд в изучаемой совокупности:

Отметим, что все эти величины могут быть вычислены для любого момента времени t, исходя из значения современных координат звезд и координат звезд в каталоге Альмагеста.

Очевидно, что задача минимизации (5.2.4) эквивалентна задаче минимизации

σ²₀(γ, φ, t) → min. (5.3.1)

в том смысле, что параметры γ(t) и φ(t), определяемые соотношением (5.3.1), совпадают с параметрами, определяемыми решением задачи (5.2.4).

Как отмечалось, решение задачи (5.3.1) имеет смысл лишь для больших совокупностей звезд, и поскольку ниже мы будем изучать статистические свойства этого решения, то здесь и далее через γ_stat(t) и φ_stat(t) обозначаются величины, удовлетворяющие соотношению (5.3.1). Значение

σ_min(t) = σ₀(γ_stat(t), φ_stat(t), t). (5.3.2)

имеет прозрачный физический смысл. Это среднеквадратичная широтная невязка по рассматриваемой совокупности звезд в момент времени t, получившаяся после компенсации найденной систематической ошибки γ_stat(t), φ_stat(t). Как мы увидим далее, величина σ_min(t) от времени практически не зависит ввиду крайне малой скорости собственного движения подавляющего большинства звезд. Поэтому мы будем использовать также обозначение σ_min. Заметим, что до компенсации этой ошибки среднеквадратичная широтная невязка в момент t равнялась величине

которая, вообще говоря, зависит от t. Таким образом, разность Δσ(t) = σ_init(t) — σ_min(t) оценивает эффект от компенсации систематической ошибки γ_stat(t), φ_stat(t).

Далее при определении величин γ_stat(t) и φ_stat(t) из соотношения (5.3.1) момент времени t будем предполагать фиксированным. Поэтому аргумент t в выкладках мы опускаем, то есть, будем писать L_i вместо L_i(t), и s_b вместо s_b(t) и т. д.

Для нахождения минимума в соотношении (5.3.1), возьмем частные производные функции σ²₀(γ, φ, t) по γ и φ и приравняем их нулю. С учетом формулы sin (L_i + φ) = sin L_i × cos φ + cos L_i × sin φ, получим уравнения