Книга о Петербурге

Все верно, это из математики. Отчасти из экономики. Причем из областей, в частности, новейшей, XXI века экономики, озадаченной надежностью инвестиций, опасностью рисков и мотивами волевых решений, притом не чурающейся пионерских идей XVIII столетия.

А к Петербургу это имеет то отношение, что было оно предложено в «Комментариях Санкт-Петербургской Академии» (1738) — выходил такой сборник научных трудов (исключительно на латыни) — знаменитым математиком Даниилом Бернулли, членом Петербургской академии наук, еще из первой, петровского призыва генерации петербургских академиков (все сплошь иностранцы). Впрочем, к моменту публикации соответствующей статьи, название которой с латыни сейчас переводят так — «Опыт новой теории измерения жребия», Даниил Бернулли, швейцарский ученый, уже вернулся из Петербурга в Базель, что не помешало ему быть иностранным почетным членом Петербургской академии и даже получать жалованье (с перебоями, правда).

Парадоксы брезжат один сквозь другой, но все-таки в двух словах мы должны тут коснуться сути собственно «петербургского парадокса».

Петр и Павел проводят серию игр с равновероятным, иначе сказать, справедливым исходом. Почему Петр и Павел? Так в оригинале, и признаемся, детали антуража, сопутствующие исторической постановке задачи, нас только радуют. Равно как слово «жребий», побуждающее к смутным ассоциациям, как-то связанным с Петербургом и всей российской историей. Возможно, нам удастся рассмотреть в петербургском парадоксе что-нибудь действительно специфически петербургское. А нет, так на нет и суда нет. Посмотрим.

Итак, Петр и Павел. Два игрока. В современных изложениях сути задачи обычно считается, что подбрасывается монета: решка или орел?

Петр подбрасывает монету. Игра длится, пока не выпадет орел — на орле прекращается. Ну и по новой.

Теперь правила. Если сразу орел, Петр получает с Павла два дуката (такую денежную единицу предлагает Бернулли). Если сначала решка, а только потом орел, Павел платит четыре дуката. Если две решки, а дальше орел — восемь дукатов. Ну, скажем… пять решек подряд, шестой орел — Петр получит сколько?.. два в степени шесть — шестьдесят четыре дуката. Но играют двое. Павел тоже рассчитывает на выигрыш. Поэтому правила предписывают Петру внести в начале игры уравновешивающий взнос — по согласному признанию обоих игроков, справедливый. Или Павел извлекает из него свой выигрыш (слава жребию! — выпал сразу или скоро орел, и Петр остался с носом…), или Петр сверх данной ставки (слава жребию, орел выпал не скоро!..) получает свою прибыль из кармана Павла. Короче, предполагается такой взнос Петра, при котором игра получилась бы, повторим, справедливой: ну, фифти-фифти. Каков он? Сколько дукатов?

Это задача.

Решение ее, сугубо математическое, не оставляет Павлу шансов на справедливость. Почему так, здесь рассуждать неуместно (заметьте, в отличие от Бернулли, мы не употребили ни одной формулы).

Скажем только, что «справедливый» взнос Петра за такую игру (по формуле, не подлежащей сомнению) должен быть бесконечным. Бесконечная сумма дукатов. Иначе Павлу не уравнять шансы с Петром. Такова теория.

Но ведь в жизни все будет не так. Все в реальности — по-другому.

Ни один игрок на месте Петра не поставит больше… двадцати (и то сумасшедший)… нет, десяти?.. может, восьми дукатов?

И вот тут парадокс. Теория резко расходится с практикой.

Сказано: парадокс петербургский.

В те времена, когда основы теории вероятностей лишь разрабатывались, важным катализатором математической мысли были не только публикации в научных изданиях, но и частная переписка самих математиков. Всех волновала проблема жребия. Формулировки оттачивались в международной переписке с коллегами. Но мне почему-то мнится, что самые яркие прозрения у Даниила Бернулли случались, когда он, житель Васильевского острова, коротким зимним пасмурным днем выходил в бобровой шубе на Стрелку, глядел на шпиль собора Петра и Павла и закованную льдом Неву, вспоминал брата, не перенесшего петербургского климата, тоже петербургского академика и тоже математика (и, между прочим, первым заметившего наш парадокс), и думал, вдыхая морозный воздух: что я делаю тут?.. как я здесь очутился?..

Так вот. По теории вычисляется так называемое математическое ожидание, и то верно: это наиболее ожидаемое значение выигрыша. Если в упомянутом случае с орлом на шестом подбрасывании (после пяти решек) вероятность данного события одну шестьдесят четвертую умножить на куш в шестьдесят четыре дуката, получится один дукат — это цена, по которой Петр может уступить данный случай в игре (ну хоть нам с вами) — по справедливости. То есть по справедливости мы бы могли купить этот исход всего за один дукат. Как и любой другой. Согласно теории. Но стали бы мы позволять себе такие инвестиции? За один дукат — в надежде получить шестьдесят четыре с вероятностью одна шестьдесят четвертая? Вопрос.