Квантовая механика и интегралы по траекториям

Вместе с тем многие результаты и формулировки метода интегралов по траекториям можно выразить с помощью другого математического формализма, представляющего собой одну из форм исчисления упорядоченных операторов (см. [23]). В этой форме большинство результатов предыдущих глав находят аналогичное, но более общее представление, включающее некоммутирующие переменные (такое обобщение неизвестно лишь для специальных задач гл. 11). Например, обсуждение в данной главе функционалов влияния должно натолкнуть читателя на мысль, что важным и интересным обобщением была бы связь среды не с координатой 𝑞, а с некоммутирующим оператором, таким, как спин. Такие обобщения не могут быть просто выражены с помощью интегралов по траекториям, но легко формулируются на языке тесно связанного с ним операторного исчисления.

Стоит и дальше прилагать усилия, чтобы распространить метод интегралов по траекториям за его сегодняшние пределы. Несмотря на ограничения, ценность его весьма велика благодаря той помощи, Которую он оказывает интуиции исследователя в соединении физического понимания сути дела с математическим анализом.

Приложение

ЧАСТО ПРИМЕНЯЕМЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{𝑎𝑥²+𝑏𝑥}

𝑑𝑥

=

⎧

⎪

⎩

π

-𝑎

⎫½

⎪

⎭

𝑒

^{-𝑏²/4𝑎}

,

_∞

∫

^-∞

𝑒

^{𝑎(𝑥₁-𝑥)²}

𝑒

^{𝑏(𝑥₂-𝑥)²}

𝑑𝑥

=

⎧

⎪

⎩

-π

𝑎+𝑏

⎫½

⎪

⎭

exp

⎡

⎢

⎣

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

(𝑥

₁

-𝑥

₂

)²

⎤

⎥

⎦

,

_∞

∫

⁰

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑎

𝑥²

-

𝑏𝑥²

⎫

⎪

⎭

𝑑𝑥

=

⎧

⎪

⎩

π

4𝑏

⎫½

⎪

⎭

exp

(-2√

𝑎𝑏

)

,

_𝑇

∫

⁰

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑎

𝑇-τ

-

𝑏

τ

⎫

⎪

⎭

𝑑τ

√(𝑇-τ)τ³

=

exp

[-(1/𝑇)(√𝑎+√𝑏)²]

√𝑏𝑇/π

,

_𝑇

∫

⁰

exp

⎧

⎪

⎩

-

𝑎

𝑇-τ

-

𝑏

τ

⎫

⎪

⎭

𝑑τ

[√(𝑇-τ)τ]³

=

=

⎧

⎪

⎩

π

𝑇³

⎫½

⎪

⎭

√𝑎+√𝑏

√𝑎𝑏

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

𝑇

(√

𝑎

+√

𝑏

)²

⎤

⎥

⎦

,

_∞

∫

^-∞

𝑒

^-𝑎𝑥²

=

⎧

⎪

⎩

π

𝑎

⎫½

⎪

⎭

,

_π/2

∫

⁰

𝑒

^{-𝑞 sin𝑥}

sin 2𝑥

𝑑𝑥

=

2

𝑞²

[(𝑞-1)𝑒

^𝑞

+1]

,

_π

∫

⁰

𝑒

^{𝑝 cos𝑥}

sin(𝑝 sin𝑥)

sin 𝑎𝑥

𝑑𝑥

_π

∫

⁰

𝑒

^{𝑝 cos𝑥}

cos(𝑝 sin𝑥)

cos 𝑎𝑥

𝑑𝑥

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

=

π𝑝^𝑎

2𝑎!

,

_∞

∫

⁰

𝑒

^-λ𝑥𝑚

𝑥

^𝑘

𝑑𝑥

=

1

𝑚

λ

^{-(𝑘+1)/𝑚}

Γ

⎧

⎪

⎩

𝑘+1

𝑛

⎫

⎪

⎭

.

Литература

1.

Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).

2.

Schiff L. I., Quantum Mechanics, New York, 1955 (см. перевод: Шифф Л., Квантовая механика, ИЛ, 1957).

3.

Jahnke Е., Emde F., Tables of Functions, New York, 1943 (cм. перевод: Янке E., Эмде Ф., Таблицы функций, М.—Л., 1948).

4.

Feynman R. Р., Rev. Mod. Phys., 20, 2, 371 (1948) (см. перевод в сб. «Новейшее развитие квантовой электродинамики», ИЛ, 1954).

5.

Рlеssеt М. S., Amer. Joum. Phys., 9, 1, 1—10 (1941).

6.

Wheeler J. A., Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 17, 157 (1945).

7.

Feynman R. P., Phys. Rev., 80, 440 (1950).

8.

Feуnmam R. P., Phys. Rev., 97, 660 (1955).

9.

Frohlich H., Advans. Phys., 3, 325 (1954).

10.

Lee T., Pines D., Phys. Rev., 92, 883 (1953).

11.

Haga E., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 11, 449 (1954).

12.

Пeкap С. И., ЖЭТФ, 19, 796 (1949).

13.

Schultz T. D., Phys. Rev., 116, 526 (1959).

14.

Lee T., Low W., Pines D., Phys. Rev., 90, 297 (1953).

15.

Gross E. P., Phys. Rev., 100, 1571 (1955).

16.

Пекар С. И., Исследования по электронной теории кристаллов, М., 1951.

17.

Боголюбов Н. Н., Укр. мат. журн., 2, 3 (1950).

18.

Тябликов С. В., ЖЭТФ, 21, 377 (1951).

19.

Cramer Н., Mathematical Methods of Statistics, Princeton, 1951 (см. перевод 1-го изд.: Крамер Г., Математические методы статистики, М., 1948).

20.

Feynman R. Р., Vеrnоn F. L., Ann. of Phys., 24, 118 (1963).

21.

Wells W. H., Ann. of Phys., 12, 1 (1961).

22.

Feynman R. P., Hellwarth R.W., Iddings С. К., Platzman P.. M., Phys. Rev., 127, 1004 (1962).

23.

Feynman R. P., Phys. Rev., 84, 108 (1951).

24.

Diraс P. A. M., Principles of Quantum Mecanies, Oxford, 1947 (cм. перевод: Дирак П. A. M., Принципы квантовой механики, М., 1960).

25.

Everling et al., Nucl. Phys., 15,342 (1960).

26.

Feynman R. P. The Concept of Probability in Quantum Mecanies, Berkley, 1951.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора перевода

5

Предисловие

11

Глава

1.

Основные идеи квантовой механики

13

§

1.

Вероятность в квантовой механике

13

§

2.

Принцип неопределённости

21

§

3.

Интерферирующие альтернативы

25

§

4.

Краткий обзор понятий, связанных с вероятностью

31

§

5.

Над чем ещё следует подумать

34

§

6.

Цель этой книги

36

Глава

2.

Квантовомеханический закон движения

38

§

1.

Действие в классической механике

38

§

2.

Квантовомеханическая амплитуда вероятности

41

§

3.

Классический предел

42

§

4.

Сумма по траекториям

44

§

5.

Последовательные события

49

§

6.

Некоторые замечания

52

Глава

3.

Дальнейшее развитие идей на конкретных примерах

54

§

1.

Свободная частица

54

§

2.

Дифракция при прохождении через щель

58

§

3.

Результаты в случае щели с резкими краями

68

§

4.

Волновая функция

70

§

5.

Интегралы Гаусса

71

§

6.

Движение в потенциальном поле

76

§

7.

Системы с многими переменными

79

§

8.

Системы с разделяющимися переменными

80

§

9.

Интеграл по траекториям как функционал

82

§

10.

Взаимодействие частицы с гармоническим осциллятором

84

§

11.

Вычисление интегралов, по траекториям с помощью рядов Фурье

86

Глава

4.

Шредингеровское описание квантовой механики

89

§

1.

Уравнение Шрёдингера

90

§

2.

Гамильтониан, не зависящий от времени

98

§

3.

Нормировка волновых функций свободной частицы

103

Глава

5.