Квантовая механика и интегралы по траекториям

Ниже мы дадим пример того, как из выражения (12.90) можно вывести функционал 𝐹 для среды, состоящей из гармонических осцилляторов с координатами 𝑄. Осцилляторы находятся в основном состоянии и их координаты линейно связаны с координатами 𝑞, взаимодействие описывается членом 𝑆_𝑖(𝑞,𝑄) = 𝐶∫𝑞(𝑡)𝑄(𝑡)𝑑𝑡. Будем считать, что все осцилляторы имеют единичную массу и собственную частоту ω, так что

𝑆

₀

(𝑄)

=

1

2

∫

[

𝑄̇(𝑡)²

+

ω²𝑄(𝑡)²

]

𝑑𝑡

.

(12.116)

Тогда

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

 

∑

^𝑚

∬

exp

⎧

⎨

⎩

𝑖

⎡

⎢

⎣

1

2

𝑄̇(𝑡)²

+

1

2

ω²𝑄(𝑡)²

+

+

𝐶𝑞(𝑡)

𝑄(𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

exp

⎧

⎨

⎩

-𝑖

∫

⎡

⎢

⎣

1

2

𝑄̇'(𝑡)²

+

1

2

ω²𝑄'(𝑡)²

+

+

𝐶𝑞'(𝑡)

𝑄'(𝑡)

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

𝒟𝑄(𝑡)

𝒟𝑄'(𝑡)

,

(12.117)

где 𝑚 — конечное состояние, а первоначальным является основное состояние. Легко видеть, что интеграл по 𝑄 гауссов, и фактически мы уже вычисляли его. Он точно совпадает с амплитудой перехода 𝐺_𝑚0, полученной в § 9 гл. 8 для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила. Сила, обозначенная там через γ(𝑡), здесь равна 𝐶𝑞(𝑡) ¹). Поэтому амплитуда определяется выражением (8.145) при 𝑛=0:

𝐺

_𝑚0

=

(𝑚!)

^-½

(𝑖β*)

^𝑚

𝐺

₀₀

,

(12.118)

¹) Возможно, для читателя будет предпочтительнее представить выражение (12.117) в форме 𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)] = ∫ 𝑑𝑄_𝑓 𝐾(𝑄_𝑓,𝑡_𝑓;𝑄_𝑖𝑡_𝑖) 𝐾'*(𝑄_𝑓,𝑡_𝑓;𝑄'_𝑖𝑡_𝑖) φ₀(𝑄_𝑖) φ*₀(𝑄'_𝑖) 𝑑𝑄_𝑖 𝑑𝑄'_𝑖 ,

где 𝐾 — ядро вида (3.66) для осциллятора, движущегося под действием внешней силы 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞(𝑡), а 𝐾' — аналогичное ядро для 𝑓(𝑡)=𝐶𝑞'(𝑡); φ₀(𝑄) — волновая функция осциллятора в основном состоянии. Тогда все переменные 𝑄_𝑖, 𝑄'_𝑖 и 𝑄'_𝑓 входят в простой гауссовой форме и интегрирование можно выполнить непосредственно. Очень просто рассмотреть случай конечной температуры. При этом вероятность обнаружить систему в начальном состоянии 𝑛 пропорциональна 𝑒^-β𝐸_𝑛, так что, согласно правилу IV, окончательное выражение функционала 𝐹 найдём, если в полученном выше выражении волновые функции φ(𝑄_𝑖) φ*(𝑄'_𝑖) заменить на const

 

∑

^𝑛 φ_𝑛(𝑄_𝑖) φ*_𝑛(𝑄'_𝑖) 𝑒^-β𝐸_𝑛 ,

т.е. на матрицу плотности ρ(𝑄_𝑖,𝑄'_𝑖) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.

причём 𝐺 определяется равенством (8.138), а β* равенством (8.143) с заменой γ(𝑡) на 𝐶𝑞(𝑡). Аналогично интеграл по 𝑄 является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где γ(𝑡) следует лишь заменить на 𝐶𝑞'(𝑡). Величины, полученные после такой замены, будем отмечать штрихами. Тогда сумма по конечным состояниям в выражении (12.117) даст нам

𝐸(𝑞,𝑞')

=

 

∑

^𝑚

𝐺

_𝑚0

𝐺

'*

𝑚0

=

 

∑

^𝑛

(𝑚!)

^-½

(𝑖β*)

^𝑚

𝐺

₀₀

(𝑚!)

^-½

(-𝑖β')

^𝑚

𝐺'

₀₀

=

=

𝐺

₀₀

𝐺'

₀₀

𝑒

^β*β'

.

(12.119)

Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу 𝐹 типа (12.104), но при этом

α(𝑡,𝑡')

=

𝐶²

2ω

𝑒

^{-𝑖ω(𝑡,𝑡')}

.

(12.120)

Например, члены с 𝑞𝑞' в выражении (12.104) получаются прямо из члена β*β' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт

𝐶²

2ω

⎡

⎢

⎣

∫

𝑞(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

∫

𝑞'(𝑡)

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

=

=

𝐶²

2ω

∫

_𝑡

∫

 

[

𝑞(𝑡)

𝑞'(𝑡')

𝑒

^{𝑖ω(𝑡-𝑡')}

+

𝑞'(𝑡)

𝑞(𝑡')

𝑒

^{𝑖ω(𝑡-𝑡')}

]

𝑑𝑡'

𝑑𝑡

.

(12.121)

Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина 𝑎(ν) равна

𝑎(ν)

=

𝐶²

2ω

_∞

∫

⁰

𝑒

^-𝑖ω𝑡

𝑒

^-𝑖ν𝑡

𝑑𝑡

=

𝐶²

2ω

⎡

⎢

⎣

-𝑖

𝐏𝐏

1

ω+ν

+

πδ(ω+ν)

⎤

⎥

⎦

(12.122)

[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝐶²

2ω

δ(ω+ν)

.

(12.123)

Для положительных ν эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).

Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции 𝑎_𝑅(ν) складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это — следствие того, что для отрицательных ν любую функцию 𝑎_𝑅(ν) можно построить из δ -функций в форме (12.123).

Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна 𝑇, то начальное состояние — это состояние 𝑛 с относительной вероятностью 𝑒^{-𝐸_𝑛/𝓀𝑇}. В нашем случае абсолютная вероятность

𝑤

_𝑛

=

𝑒

^{-𝑛ℏω/𝓀𝑇}

(1-𝑒

^{-ℏω/𝓀𝑇}

)

.

(12.124)

Если бы начальным было состояние 𝑛, то функционал влияния имел бы вид

𝐹

_𝑛

=

 

∑

^𝑚

𝐺

_𝑚𝑛

𝐺

'*

𝑚𝑛

,

(12.125)

а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами 𝑤_𝑛, так что окончательное выражение для функционала 𝐹 равно

𝐹

=

 

∑

^𝑚,𝑛

𝐺

_𝑚𝑛

𝐺

'*

𝑚𝑛

𝑒

^{-𝑛ℏω/𝓀𝑇}

(1-𝑒

^{-ℏω/𝓀𝑇}

)

.

(12.126)

Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна

𝐹

=

𝐺

₀₀

𝐺'

₀₀

𝑒

^β*β'

exp

⎡

⎢

⎣

-

(β-β')(β*-β'*)

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

⎤

⎥

⎦

.

(12.127)

Вместо (12.123) для 𝑎_𝑅(ν) получается выражение

𝑎

_𝑅

(ν)

=

𝐶²

2ω

⎡

⎢

⎣

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

δ(ω+ν)

+

1

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

δ(ω-ν)

⎤

⎥

⎦

,

(12.128)

а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (ω<0), так и к большим энергиям.

Заметим, что если ν>0, то обратится в нуль первая δ-функция, тогда как при ν<0 равна нулю вторая δ-функция; кроме того, как и следовало ожидать,

𝑎

_𝑅

(-|ν|)

=

𝑒

^{ℏ|ν|/𝓀𝑇}

𝑎

_𝑅

(+|ν|)

.

(12.129)

Это соотношение означает, что в теории возмущений, когда 𝐸_𝑛>𝐸_𝑚,

вероятность перехода за 1 сек

к большим энергиям (𝑚→𝑛)

вероятность перехода за 1 сек

к меньшим энергиям (𝑛→𝑚)

=

=

𝑒