Квантовая механика и интегралы по траекториям

Те же рассуждения, если их провести применительно к интервалу времени 𝑎≤𝑡≤𝑡_𝑓 и использовать соотношение, сходное с (12.96), но где 𝑡_𝑓, 𝑄_𝑓 заменены соответственно на 𝑎 и 𝑄_𝑎, показывают, что если 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎, то зависимость 𝐹 от 𝑞(𝑡) при 𝑡>𝑎 исчезает, так как правая сторона (12.96) при 𝑡>𝑎 а не зависит от 𝑞(𝑡).

Правило III с очевидностью следует из того, что вероятности определяются суммированием всех возможных значений 𝐽

Правило IV вытекает из выражения (12.90), если в соответствии с условием действие в выражении (12.90) имеет вид

𝑆

_0𝐴

[𝑄

_𝐴

(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖𝐴

[𝑞(𝑡),𝑄

_𝐴

(𝑡)]

+

𝑆

_0𝐵

[𝑄

_𝐵

(𝑡)]

+

𝑆

_𝑖𝐵

[𝑞(𝑡),𝑄

_𝐵

(𝑡)]

.

При этом экспоненциальная функция суммы превращается в произведение, дающее интегралы 𝐹, если начальное состояние само представляется произведением волновых функций.

Правило V — это просто формулировка наших результатов, приведённых в соотношениях (12.82) и (12.85).

Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния. Связанные с ними расчёты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния.

Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты 𝑞(𝑡), 𝑞'(𝑡) в виде квадратичных форм в экспонентах; назовём их гауссовыми функционалами влияния.

Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой 𝑞, то вычисление выражения (12.90) показывает, что 𝐹 — гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий. Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома 𝐴 очень мало, так что его функционал влияния 𝐹_𝐴 немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу IV, полный функционал 𝐹 является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов. Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит к функционалу влияния гауссова типа.

Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объёмном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле. Функционал влияния металла 𝑄 на объёмный резонатор 𝑞 близок к гауссову, и в этом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния.

Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат 𝑞(𝑡) и 𝑞'(𝑡) имеет вид

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∫

𝑞(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

-

𝑖

∫

𝑞'(𝑡)

𝑈(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

,

(12.98)

где 𝑉(𝑡) и 𝑈(𝑡) — произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы 𝑈(𝑡)=𝑉*(𝑡), а из правила II следует 𝑈(𝑡)=𝑉(𝑡), поэтому 𝑈 и 𝑉 должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.

Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член 𝑞(𝑡)𝑉(𝑡) к гамильтониану невозмущённой системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.

Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид

𝐹[𝑞(𝑡),𝑞'(𝑡)]

=

exp

⎧

⎨

⎩

-

∫

_𝑡

∫

 

[

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

+

β(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

+

γ(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

δ(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞(𝑡')

]

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

(12.99)

с произвольными комплексными функциями α, β, γ и δ. (Эти функции достаточно определить только для 𝑡>𝑡'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем 𝑡>𝑡'; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить

β(𝑡,𝑡')

=

α*(𝑡,𝑡')

(12.100)

и

γ(𝑡,𝑡')

=

δ*(𝑡,𝑡')

(12.101)

Правило II даёт нам больше информации. Если положить 𝑞(𝑡)=𝑞'(𝑡) для 𝑡>𝑎 и 𝑡'<𝑎, то выражение

 

∫

^𝑎

_𝑎

∫

 

[

α(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞(𝑡')

+

β(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

+

γ(𝑡,𝑡')

𝑞(𝑡)

𝑞'(𝑡')

+

δ(𝑡,𝑡')

𝑞'(𝑡)

𝑞(𝑡')

]

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

,

(12.102)

составляющее часть равенства (12.99), не должно зависеть от 𝑞(𝑡) при произвольных значениях 𝑞(𝑡') в области 𝑡>𝑎 и 𝑞'(𝑡') в области 𝑡'<𝑎. Для этого необходимо, чтобы

δ(𝑡,𝑡')

=-

α(𝑡,𝑡')

,

γ(𝑡,𝑡')

=-

β(𝑡,𝑡')

(12.103)