Квантовая механика и интегралы по траекториям

Предположим теперь, что мы наблюдаем только частицы, вылетающие под фиксированным углом θ, и рассмотрим для этих частиц функцию распределения по положениям точек вылета 𝐷. Найдём, что распределение вероятностей имеет максимум при 𝐷=θ𝑇/2. Этого можно было бы ожидать, если бы конечный угол отклонения θ нарастал пропорционально толщине пластины; тогда среднее значение угла во время пролёта через пластину было бы равным θ/2.

Задача 12.2. Покажите, что нормировочный коэффициент для функции распределения 𝑃(𝐷,θ) 𝑑𝐷 𝑑θ равен

⎧

⎪

⎩

6

π𝑅𝑇³

⎫½

⎪

⎭

⎧

⎪

⎩

1

2π𝑅𝑇

⎫½

⎪

⎭

.

(12.77)

§ 7. Квантовая механика

В этом и следующих параграфах нам хотелось бы посмотреть, как формулируются статистические задачи в квантовой механике. Вероятности неотделимы от квантовой механики, так как даже объект, находящийся в известном состоянии, одновременно с некоторой вероятностью находится в других состояниях. Кроме того, неопределённость может вноситься извне. Например, исходное состояние объекта само может быть задано с какой-то вероятностью. Такая ситуация аналогична ситуации в классической механике, в которой неизвестны начальные условия, а задано лишь распределение вероятностей для таких условий. В классической механике мы уже сталкивались с подобной проблемой, но это был сугубо частный случай, когда состояние с энергией 𝐸 имеет соответствующую вероятность 𝑒^{-𝐸/𝓀𝑇}. Здесь мы рассмотрим более общую картину.

Пусть квантовомеханическая система находится под влиянием заданного внешнего потенциала 𝑉(𝑡). Что можно сказать, если потенциал описывается распределением вероятностей 𝑃[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉? Нужно ли нам в действительности решать задачу для каждого потенциала 𝑉(𝑡) и затем усреднять, или же имеется способ сформулировать задачу уже после усреднения по 𝑉(𝑡)? Хотелось бы надеяться, что это именно так, потому что часто оказывается намного легче решить статистическую задачу после предварительного усреднения, чем искать общее решение первоначальной задачи с очень большим числом условий. В этом параграфе покажем, что такая формулировка действительно возможна. После этого рассмотрим случай, когда квантовомеха-ническая система возмущается не классической, а некоторой другой статистически неопределённой квантовой системой.

Основная цель этой главы — показать, как можно сформулировать эти и другие подобные вопросы. Мы не будем заниматься детальным решением упомянутых частных задач; они нужны нам лишь для того, чтобы помочь понять способы постановки более общих проблем.

Прежде всего обсудим аналогию броуновского движения для квантовомеханической системы, т.е. предположим, что квантовая система, которой соответствует невозмущённое действие 𝑆(𝑞), испытывает влияние внешнего потенциала 𝑉(𝑡) и при этом действие 𝑆 становится равным *)

𝑆

_𝑣

(𝑞)

=

𝑆(𝑞)

+

∫

𝑞(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

.

(12.78)

*) Все операции мы проделаем так, как если бы аргументом была только одна координата 𝑞. Читатель может непосредственно получить обобщение на случай нескольких координат 𝑞_𝑖 (при этом 𝑉 заменяется набором потенциалов 𝑉_𝑖) и на случай, когда коэффициент при 𝑉(𝑡) в действии 𝑆_𝑉 не равен просто 𝑞, а является более сложным оператором.

Допустим, что нас интересует вопрос: какова вероятность того, что, отправившись в начальный момент времени 𝑡_𝑖 из точки 𝑞(𝑡_𝑖)=𝑞_𝑖, мы достигнем в конечный момент 𝑡_𝑓 положения 𝑞_𝑓? Эта вероятность определяется квадратом амплитуды |𝐾(𝑞_𝑓,𝑡_𝑓;𝑞_𝑖,𝑡_𝑖)|². Если начальное состояние системы задаётся волновой функцией φ(𝑞), а конечное — волновой функцией χ(𝑞), то вероятность перехода между этими состояниями

𝑃[χ(𝑞);φ(𝑞)]

=

⎪

⎪

⎪

∬

χ*(𝑞

_𝑓

)

𝐾(𝑞

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

φ(𝑞

_𝑖

)

𝑑𝑞

_𝑓

𝑑𝑞

_𝑖

⎪²

⎪

⎪

=

=

∬

∬

χ*(𝑞

_𝑓

)

χ(𝑞'

_𝑓

)

𝐾(𝑞

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝐾*(𝑞'

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞'

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

×

×

φ(𝑞

_𝑖

)

φ*(𝑞'

_𝑖

)

𝑑𝑞

_𝑖

𝑑𝑞'

_𝑖

𝑑𝑞

_𝑓

𝑑𝑞'

_𝑓

.

(12.79)

Очевидно, что все подобные задачи могут быть решены, если вычислить произведение

𝐾(𝑞

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

𝐾*(𝑞'

_𝑓

,𝑡

_𝑓

;𝑞'

_𝑖

,𝑡

_𝑖

)

(12.80)

Здесь первый множитель содержит интеграл по траекториям ∫exp{𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡), тогда как второй, комплексно-сопряженный *), включает ∫exp{-𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]}𝒟𝑞(𝑡). Каждый из интегралов взят по траекториям с заданными конечными точками. Во втором интеграле выражения (12.80) обозначим переменную интегрирования по траектории через 𝑞'(𝑡). При этом произведение (12.80) можно выразить как двойной интеграл по траекториям:

∬

𝑒

^{𝑖𝑆[𝑞(𝑡)]-𝑖𝑆[𝑞'(𝑡)]}

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

.

(12.81)

*)Как и в гл. 11, предполагаем, что ℏ=1, a 𝑆[𝑞(𝑡)] — действительная величина.

Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность.

Если потенциал 𝑉 отличен от нуля, то мы должны 𝑆 в выражении (12.81) заменить на 𝑆_𝑉. При этом получим

∬

exp

⎧

⎪

⎩

𝑖

⎧

⎨

⎩

𝑆[𝑞(𝑡)]

-

𝑆[𝑞'(𝑡)]

+

∫

𝑞(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

-

-

∫

𝑞'(𝑡)

𝑉(𝑡)

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑞(𝑡)

𝒟𝑞'(𝑡)

.

(12.82)

Предположим теперь, что потенциал известен только в вероятностном смысле, т.е. задана вероятность 𝑃_𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡) того, что потенциал равен 𝑉(𝑡). Тогда для того, чтобы получить вероятность перехода между состояниями φ и χ нужно взять выражение (12.79), рассчитанное для данного 𝑉(𝑡), и усреднить его по всем 𝑉(𝑡) с весом 𝑃_𝑉[𝑉(𝑡)]𝒟𝑉(𝑡). Это даст

вероятность (φ→χ)

=

=

∬

∬

χ*(𝑞