Квантовая механика и интегралы по траекториям

что даёт формальное решение нашей задачи. Если 𝑃_𝑓 представляет собой гауссово распределение, то и 𝑃_𝑥 имеет такой же вид. В этом случае задача может быть решена многими способами, причём самый очевидный из них — разложение в ряд Фурье при условии, что ω²₀ и γ не зависят от времени.

Многие задачи в какой-то степени можно поставить и частично решить, исходя из уравнения (12.64). Рассмотрим конкретный пример. Быстрая частица пролетает сквозь вещество и вблизи ядер претерпевает резкие, но небольшие по величине изменения скорости. Какова вероятность того, что, пройдя толщину 𝑇, частица отклонится на расстояние 𝐷 от первоначальной прямолинейной траектории и будет двигаться под углом θ к ней, как это показано на фиг. 12.1?

Фиг. 12.1. Движение быстрой частицы пердендикулярно пластинке вещества толщиной 𝑇.

Пройдя толщину 𝑡 в направлении первоначального движения, быстрая частица вследствие взаимодействий с ядрами вещества отклоняется на расстояние 𝑥. В конце концов она вылетает из пластинки на расстоянии 𝐷 от точки 𝑥=0, в которой она вылетела бы при отсутствии взаимодействий, и движется под углом θ к первоначальному направлению.

Предположим, что взаимодействие не приводит к заметному уменьшению продольной скорости частицы и вещество, сквозь которое проходит частица, однородно. Далее, допустим, что угол θ всегда мал и что движение представляет собой результат очень большого числа взаимодействий, каждое из которых даёт малый эффект. Допустим также, что среднее число столкновений в слое бесконечно малой толщины 𝑑𝑡 равно μ и что в каждом столкновении происходит отклонение на угол Δ, определяемый распределением вероятности 𝑝(Δ)𝑑(Δ); пусть этому распределению соответствует среднеквадратичное отклонение

_∞

∫

^-∞

Δ²

𝑝(

Δ

)𝑑(

Δ

)

=

σ²

(12.65)

(мы будем обозначать μσ² через 𝑅).

Ограничимся изучением проекции движения на двумерную плоскость, содержащую первоначальный путь частицы. Движение в плоскости, перпендикулярной ей, будет происходить аналогично, а движение в любой из плоскостей можно рассматривать независимо друг от друга. Обозначим через 𝑡 глубину проникновения частицы в пластинку; пусть θ — угол мгновенного направления движения в рассматриваемой плоскости, а 𝑥 — отклонение частицы от первоначальной траектории, как указано на фиг. 12.1. Эти параметры связаны соотношением 𝑑𝑥=θ или 𝑥̇=θ.

Мы предполагаем, что отклонения частицы на угол Δ происходят внезапно, так что θ̇=𝑓(𝑡), где функция 𝑓 представляется суммой δ-функций со случайными значениями времени и случайными относительными коэффициентами. Это означает, что 𝑥̈=𝑓(𝑡) и 𝑃_𝑓[𝑓(𝑡)] обладает характеристическим функционалом

Φ

=

exp

⎧

⎪

⎩

-μ

∫

{1-𝑊[𝑘(𝑠)]}

𝑑𝑠

⎫

⎪

⎭

,

(12.66)

где

𝑊[ω]

=

∫

𝑝(

Δ

)

𝑒

^𝑖ωΔ

𝑑

Δ

.

(12.67)

Заметим, что среднее значение углового отклонения Δ считается равным нулю, а сами эти отклонения предполагаются малыми. Если теперь разложить 𝐺(ω), так что

𝑊[ω]

=

∫

𝑝(

Δ

)

⎧

⎪

⎩

1+𝑖ω

Δ

-

ω²

2

Δ

²

+…

⎫

⎪

⎭

𝑑

Δ

,

(12.68)

и ограничиться только членами не выше второго порядка по Δ, т.е. положить 𝑊[ω]=1-ω²σ²/2, то функционал (12.66) будет иметь вид

Φ

=

exp

⎧

⎨

⎩

-

1

2

𝑅

∫

[𝑘(𝑠)]²

𝑑𝑠

⎫

⎬

⎭

.

(12.69)

А это в свою очередь означает, что

𝑃

_𝑓

[𝑓(𝑡)]

=

exp

⎧

⎨

⎩

-

1

2𝑅

∫

[𝑓(𝑡)]²

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

(12.70)

и, следовательно,

𝑃

_𝑥

[𝑥(𝑡)]

=

const⋅exp

⎧

⎨

⎩

-

1

2𝑅

_𝑇

∫

⁰

[𝑥̈(𝑡)]²

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

(12.71)

Мы должны вычислить распределение 𝑃(𝐷,θ), определяющее вероятность того, что частица будет выходить из пластины под углом θ и смещением 𝐷, если при входе в пластину она имела 𝑥(0)=0 и 𝑥̇(0)=0. Нас интересует не точная траектория частицы в веществе, а только условия выхода 𝑥(𝑇)=𝐷 и 𝑥̇(𝑇)=θ. Поэтому выразим искомое распределение в виде интеграла по всем траекториям:

𝑃(𝐷,θ)

=

∫

exp

⎧

⎪

⎩

-

1

2𝑅

_𝑇

∫

⁰

𝑥̈²

𝑑𝑡

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

,

(12.72)

где все траектории, по которым берётся интеграл, удовлетворяют предполагаемым граничным условиям. Этот интеграл гауссовой формы можно вычислить методами, развитыми в § 5 гл. 3. Он имеет экстремум для траектории

_....

𝑥

 

(𝑡)

=

0

.

(12.73)

Решение этого уравнения, удовлетворяющее нашим граничным условиям, имеет вид

𝑥(𝑡)

=

(3𝐷-θ𝑇)

⎧

⎪

⎩

𝑡

𝑇

⎫²

⎪

⎭

+

(θ𝑇-2𝐷)

⎧

⎪

⎩

𝑡

𝑇

⎫³

⎪

⎭

.

(12.74)

Подставив его в показатель экспоненты в (12.72), получим

1

2𝑅

_𝑇

∫

⁰

𝑥̈²

𝑑𝑡

=

6

𝑅𝑇³

⎧

⎪

⎩

𝐷

-

θ𝑇

2

⎫²

⎪

⎭

+

θ²

2𝑅𝑇

.

(12.75)

Отсюда следует искомое распределение

𝑃(𝐷,θ)

=

const⋅exp

⎡

⎢

⎣

-

6

𝑅𝑇³

⎧

⎪

⎩

𝐷

-

θ𝑇

2

⎫²

⎪

⎭

+

θ²

2𝑅𝑇

⎤

⎥

⎦

.

(12.76)

На практике в некоторых случаях для нас может представлять интерес не точное линейное смещение частицы от предполагаемой начальной точки, а угол θ, под которым частица вылетает из пластины. Обладая полной функцией распределения (12.76), легко вычислить функцию распределения углов, проинтегрировав по всем значениям 𝐷. Результат равен exp[-(θ²/2𝑅𝑇)]. Этого можно было ожидать, поскольку мы уже предположили, что среднеквадратичный угол отклонения при прохождении единичной толщины равен 𝑅, так что эта же величина для полной толщины 𝑇 должна быть 𝑅𝑇.