Квантовая механика и интегралы по траекториям

Нам уже пришлось иметь дело с гауссовыми распределениями, т.е. с экспоненциальными функциями, содержащими в показателе квадраты функций, к которым относится данное распределение. Мы пришли к гауссовым функционалам, сохранив член второго порядка в разложении экспоненты, возникающей как следствие нашего предположения о справедливости распределения Пуассона для случайных событий. Нужно отметить, что некоторые физические процессы в силу своей природы действительно описываются такими функциональными распределениями. В обычной теории вероятностей нормальное, или гауссово, распределение описывает физические процессы, состоящие из большого числа независимых случайных событий. В этом состоит результат основной предельной теоремы теории вероятностей. Это относится и к вероятностным функционалам и проявляется в том, что во многих важных случаях исследование физических явлений приводит к гауссовым распределениям. Для дальнейшего использования напишем здесь самую общую форму гауссова характеристического функционала:

Φ

=

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∫

𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

×

×

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.40)

Первый множитель в этом выражении можно устранить сдвигом начала отсчёта 𝑓(𝑡), как это уже отмечалось при выводе распределения флуктуаций потенциала. Таким образом, можно ввести функцию 𝑓'=𝑓-𝐹(𝑡). Кроме того, заметим, что если поведение описываемой системы не зависит от абсолютного значения времени, то ядро 𝐴(𝑡,𝑡') должно иметь форму 𝐴(𝑡-𝑡').

В конкретных физических задачах вид функции 𝐴 можно определить либо экспериментально, либо пользуясь приближённой картиной отдельных сторон явления, достаточно близкой к реальной. Приведённый выше вывод шумового спектра даёт пример, такого приближения. При этом 𝐴(𝑡,𝑡')=μλ(𝑡-𝑡'). Во всяком случае, теоремы о поведении системы, получающиеся при использовании этой функции, останутся справедливыми до тех пор, пока квадратичная или гауссова форма (12.40) пригодна для аппроксимации характеристического функционала.

Конечно, теперь мы умеем обращаться с гауссовыми функционалами, так как в предыдущих главах затратили достаточно времени на различные операции с ними. Появление множителя 𝑖 отличает этот случай от того, что встречается в типичных квантовомеханических задачах. В самом деле, функции, которые были действительными, например, в § 4 гл. 7, являются здесь мнимыми, что, однако, не требует какого-либо пересмотра математического аппарата; это замечание подготовит нас к некоторым различиям в деталях результатов.

Распределение вероятности, соответствующее характеристическому функционалу (12.40), имеет вид

𝑃[𝑓(𝑡)]

=

exp

⎧

⎨

⎩

-

1

2

∬

[𝑓(𝑡)-𝐹(𝑡)]

×

×

[𝑓(𝑡')-𝐹(𝑡')]

𝐵(𝑡,𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎫

⎬

⎭

.

(12.41)

где теперь функция 𝐵(𝑡,𝑡') представляет собой ядро, обратное ядру 𝐴(𝑡,𝑡'), т.е. функции 𝐴 и 𝐵 связаны равенством

∫

𝐴(𝑡,τ)

𝐵(τ,𝑠)

𝑑τ

=

δ(𝑡-𝑠)

.

(12.42)

Задача 12.1. Доказать равенство (12.42).

Все параметры распределения можно вычислить из характеристического функционала методом, изложенным в гл. 7.

Здесь мы изучим более детально некоторые физические характеристики постоянного во времени гауссова шума, т.е. изучим распределения с характеристическим функционалом

Φ

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.43)

Функция 𝐴(τ) называется корреляционной функцией. Выражение (12.43) означает, что вероятность наблюдения заданной шумовой функции 𝑓(𝑡) равна

𝑃[𝑓(𝑡)]

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

𝐵(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.44)

В последнем выражении появилась функция 𝐵, обратная по отношению к корреляционной функции 𝐴. Это означает, что ∫𝐵(𝑡-𝑠)𝐴(𝑠)𝑑𝑠=δ(𝑡) или, если

𝒫(ω)

=

∫

𝐴(τ)

𝑒

^𝑖ωτ

𝑑τ

(12.45)

является преобразованием Фурье от функции 𝐴(τ), то преобразование Фурье от функции 𝐵(τ) равно 1/𝒫(ω).

Мы начнём с численного анализа некоторых свойств этого распределения. Сначала покажем, что среднее значение шумовой функции равно нулю. Как следует из равенства (12.13), среднее значение шума в данный момент времени определяется соотношением

⟨𝑓(𝑎)⟩

=

-𝑖

δΦ

δ𝑘(𝑎)

(12.46)

В этом выражении, согласно § 2 гл. 7, функциональная производная функционала (12.43) равна

δΦ

δ𝑘(𝑎)

=

⎡

⎢

⎣

-

∫

𝑘(𝑡)

𝐴(𝑡-𝑎)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

Φ

(12.47)

и обращается в нуль, если 𝑘(𝑡)=0.

Вычислим теперь средний квадрат шумовой функции, или, лучше, среднее значение произведения двух шумовых функций в моменты 𝑎 и 𝑏. Эта величина называется корреляционной функцией шума. Дважды продифференцировав обе части равенства (12.12), имеем

⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩

=

δ²Φ

δ𝑘(𝑎)δ𝑘(𝑏)

=

𝐴(𝑏-𝑎)

Φ

-

-

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡)

𝐴(𝑡-𝑎)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎡

⎢

⎣

∫

𝑘(𝑡')

𝐴(𝑡'-𝑎)

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

Φ

.

(12.48)

Вычислив это выражение для 𝑘=0, получим просто 𝐴(𝑏-𝑎). Отсюда ясно, почему 𝐴 называется корреляционной функцией.

§ 5. Спектр шума

Наиболее употребительная характеристика распределения шумов — это спектр их интенсивности (см. задачу 6.26), который определяется как среднее значение квадрата от фурье-образа шумовой функции, т.е. от

φ(ω)

=

∫

𝑓(𝑡)

𝑒

^𝑖ω𝑡

𝑑𝑡

.

(12.49)

Используя наши предыдущие результаты, можно найти

⟨|φ(ω)|²⟩

=

╱

╲

∫

𝑓(𝑎)

𝑒

^𝑖ω𝑎

𝑑𝑎

∫

𝑓(𝑏)

𝑒

^𝑖ω𝑏

𝑑𝑏

╲

╱

=

=

∬

⟨𝑓(𝑎)𝑓(𝑏)⟩

𝑒

^{𝑖ω(𝑎-𝑏)}

𝑑𝑎

𝑑𝑏

=

=

∬

𝐴(𝑏-𝑎)

𝑒

^{𝑖ω(𝑎-𝑏)}

𝑑𝑎

𝑑𝑏

=

𝒫(ω)

𝑑𝑎

.

(12.50)

Здесь мы использовали функцию 𝒫(ω), фурье-образ корреляционной функции 𝐴 [см. выражение (12.45)].