Квантовая механика и интегралы по траекториям

Используем теперь развитые выше идеи для изучения конкретных примеров и в ходе этого выработаем несколько новых понятий. Пусть мы проводим эксперимент, в котором считаем сигналы некоторого типа, например импульсы, создаваемые космическими лучами в счётчике Гейгера, или импульсы теплового шума в вольтметре. В таких случаях импульсы проявляются не просто как резкие дискретные всплески энергии, а характеризуются нарастанием и спадом потенциала. Внимательное изучение реального изменения потенциала, вызванного такими импульсами, показало бы, что для сигнала, пришедшего в момент 𝑡, оно имело бы форму 𝑔(𝑡). Точно так же, если бы сигнал приходился на момент 𝑡=𝑡₀, форма потенциальной кривой была бы 𝑔(𝑡-𝑡₀).

Далее предположим, что мы проводим наши измерения в интервале времени 𝑇, в течение которого регистрируются импульсы с центрами в моменты 𝑡₁,𝑡₂,…,𝑡_𝑛. Полное изменение потенциала в течение всего эксперимента было бы

_𝑛

∑

^𝑗=1

𝑔(𝑡-𝑡

_𝑗

)

.

Так как нам известно, когда произошли все события, то наша функция распределения просто должна выражать достоверность. Используя равенство (12.15), получаем соответствующую характеристическую функцию

Φ

= exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

_𝑛

∑

^𝑗=1

𝑘(𝑡)

𝑔(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

.

(12.16)

Предположим теперь, что до проведения эксперимента мы хотели бы определить вероятность наблюдения вполне определённого изменения потенциала с течением времени. Допустим при этом, что 𝑛 событий равновероятно распределены по всему интервалу 𝑇, т.е. что вероятность события в интервале времени 𝑑𝑡 равна 𝑑𝑡/𝑇. В этом случае характеристическая функция оказывается равной

Φ

=

_𝑇

∫

⁰

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

_𝑛

∑

^𝑗=1

𝑘(𝑡)

𝑔(𝑡-𝑡

_𝑗

)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑡₁

𝑇

𝑑𝑡₂

𝑇

…

𝑑𝑡_𝑛

𝑇

=

=

⎧

⎨

⎩

_𝑇

∫

⁰

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖

∫

𝑘(𝑡+𝑠)

𝑔(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

𝑇

⎫𝑛

⎬

⎭

.

(12.17)

Обозначим выражение в скобках через 𝐴 и запишем результат как 𝐴^𝑛.

Если число событий в интервале времени распределяется так, что применимо распределение Пуассона, т.е. наступление любого события не зависит от момента наступления других событий и имеется постоянная скорость μ появления среднего числа событий за единицу времени, то среднее число событий, происходящих за время 𝑇, равно μ𝑇=𝑛 и характеристическая функция

Φ

=

 

∑

^𝑛

𝐴

^𝑛

𝑛^𝑛

𝑛!

𝑒

^-𝑛

.

(12.18)

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение экспоненты от (𝐴-1)𝑛, так что характеристическую функцию можно записать в виде

Φ

=

𝑒

^{-(𝐴-1)𝑛}

=

exp

⎡

⎢

⎣

-μ𝑇

⎧

⎪

⎩

1-

_𝑇

∫

⁰

⎧

⎨

⎩

𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡}

⎫

⎬

⎭

𝑑𝑠

𝑇

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

=

=

exp

⎡

⎢

⎣

-μ

_𝑇

∫

⁰

(1-𝑒

^{𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡}

)

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

.

(12.19)

Таким образом, можно теперь вычислить характеристическую функцию для многих различных случаев. Перейдём к рассмотрению некоторых частных случаев, где можно использовать простые приближения.

Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае 𝑔(𝑡) мало и, разлагая экспоненту exp[𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡] в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖μ

_𝑇

∫

⁰

_𝑇

∫

⁰

𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡

𝑑𝑠

⎤

⎥

⎦

=

exp

⎡

⎢

⎣

𝑖μ𝐺

_2𝑇

∫

⁰

𝑘(𝑡)𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

,

(12.20)

где через 𝐺=∫𝑔(𝑡)𝑑𝑡 обозначена площадь сигнала. Это означает, что характеристическая функция Φ выражается в виде (12.15) с 𝐹(𝑡)=μ𝐺 (постоянной, не зависящей от 𝑡), а это эквивалентно достоверному утверждению, что 𝑓(𝑡) совпадает с или, другими словами, вероятность равна единице при наблюдении функции 𝑓(𝑡)=μ𝐺 и равна нулю при наблюдении других функций 𝑓(𝑡). Таким образом, совокупность большого числа малых слабых сигналов порождает почти постоянный потенциал, величина которого равна произведению числа сигналов за 1 сек на среднее значение потенциала сигнала.

Перейдём теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала.

Равенство (12.20) даёт первое приближение экспоненты exp[𝑖∫𝑘(𝑡+𝑠)𝑔(𝑡)𝑑𝑡] в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде

-

μ

2

∬

𝑘(𝑡)𝑔(𝑡-𝑠)𝑑𝑡

∫

𝑘(𝑡')𝑔(𝑡'-𝑠)𝑑𝑡'

𝑑𝑠

.

(12.21)

Чтобы получить более простое выражение, введём функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов,

λ(τ)

=

∫

𝑔(𝑡)

𝑔(𝑡+τ)

𝑑𝑡

.

(12.22)

Эта подстановка приводит член второго порядка к виду

-

μ

2

_𝑇

∫

⁰

_𝑇

∫

⁰

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

λ(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

.

(12.23)

Характеристический функционал с учётом членов первого и второго порядков приобретает вид

Φ

= exp

⎡

⎢

⎣

𝑖μ𝐺

∫

𝑘(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

exp

⎡

⎢

⎣

-

μ

2

∬

𝑘(𝑡)

𝑘(𝑡')

λ(𝑡-𝑡')

𝑑𝑡

𝑑𝑡'

⎤

⎥

⎦

.

(12.24)

Первый множитель в этом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчёта 𝑓(𝑡). Это означает, что путём изменения начала отсчёта функции 𝑓(𝑡) всегда можно освободиться от множителя exp[𝑖∫𝑘(𝑡)𝐹(𝑡)𝑑𝑡] [т.е. записать 𝑓(𝑡)=𝐹(𝑡)+𝑓'(𝑡), изучить распределение вероятности и характеристический функционал для 𝑓(𝑡)]. Если мы сделаем такое изменение начала отсчёта, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока.