Квантовая механика и интегралы по траекториям

Целью данной главы является рассмотрение нескольких таких задач. Эти задачи разбиваются на два типа. Во-первых, мы обсудим непосредственное приложение метода интегрирования по траекториям к классическим задачам теории вероятностей. Это отличает данную главу от предыдущих, где все применения относились к квантовой механике. Во-вторых, рассмотрим смешанные вероятностные и квантовомеханические задачи. Мы не можем в этой главе углубляться в детали и ограничимся только некоторыми примерами постановки отдельных задач, предоставляя читателю самостоятельно разобрать другие применения метода интегрирования по траекториям.

Основное достоинство метода интегрирования по траекториям состоит в том, что он непосредственно содержит представление о вероятности некоторой траектории или функции. Для пояснения этой мысли последовательно рассмотрим хорошо известные понятия теории вероятности в применении к дискретным и непрерывным переменным ²³).

²³ Предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями обычной теории вероятностей (см. например, [19]).

§ 1. Случайные события

Для начала предположим, что перед нами стоит задача теории вероятности, в которой переменные принимают дискретные значения. Пусть в случайно выбранные моменты времени происходит ряд дискретных событий; это может быть, например, прохождение космических частиц через счётчик или падение дождевых капель на выделенную для наблюдений площадку. Хотя известно, что частицы появляются в случайные моменты времени, однако можно ожидать, что в течение любого достаточно длительного промежутка времени 𝑇 будут наблюдаться 𝑛=𝑇μ частиц. Таким образом, μ имеет смысл средней скорости счета.

Конечно, при любом реальном измерении точное число зарегистрированных частиц 𝑛, вообще говоря, не будет совпадать с их средним числом. Однако можно спросить, какова вероятность наблюдения некоторого числа 𝑛 частиц за время, в течение которого в среднем появляются 𝑛 частиц. Ответ даётся распределением Пуассона

𝑃

_𝑛

=

𝑛^𝑛

𝑛!𝑒^𝑛

(12.1)

С другой стороны, можно интересоваться вероятностными вопросами иного типа. Например, какова вероятность того, что после появления предыдущей частицы следующая появится в момент 𝑡? На вопрос, сформулированный таким образом, не существует правильного ответа. Если же мы поинтересовались бы вероятностью того, что интервал между появлениями частиц будет равен или больше 𝑡, то ответ 𝑒^-μ𝑡 мог бы быть получен. Это значит, что можно определить лишь, находится ли момент 𝑡 внутри некоторого временного интервала. Таким образом, если нас интересует конкретный момент 𝑡, то должны исходить из бесконечно малого интервала и формулировать вопрос следующим образом: какова (бесконечно малая) вероятность того, что промежуток времени между двумя событиями будет лежать внутри окрестности 𝑑𝑡, окружающей момент 𝑡? Ответ записывается в виде

𝑃(𝑡)

𝑑𝑡

=

μ𝑒

^-μ𝑡

𝑑𝑡

.

(12.2)

Так приходим к понятию распределения вероятности для непрерывной переменной: 𝑃(𝑡) есть отнесённая к единице измерения 𝑡 вероятность того, что интервал между событиями равен 𝑡. Запишем распределение вероятности для 𝑥 как 𝑃(𝑥), если 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 представляет вероятность того, что переменная находится в окрестности 𝑑𝑥 точки 𝑥. Можно легко распространить это определение на случай двух переменных и написать вероятность распределения 𝑥 и 𝑦 как 𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. При этом мы подразумеваем, что вероятность найти переменные 𝑥 и 𝑦 в области 𝑅 плоскости 𝑥𝑦 даётся интегралом

 

∫

^𝑅

𝑃(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦

.

Хотелось бы расширить концепцию вероятности ещё дальше. Желательно рассматривать распределения не только отдельных переменных, но также и целых кривых, т.е. хотелось бы построить вероятностные функции, или, точнее, функционалы, которые позволят ответить на вопрос: какова вероятность какой-либо конкретной эволюции физического процесса, развивающегося во времени, например напряжения на вольтметре или цены на товар, или, в случае двух переменных, какова вероятность формы поверхности моря как функции широты и долготы? Все это приводит нас к необходимости рассмотреть вероятность некоторой функции.

Запишем это так. Вероятность наблюдения функции 𝑓(𝑡) есть функционал 𝑃[𝑓(𝑡)]. При этом следует помнить, что вопросы относительно такой вероятности имеют смысл, только если определить интервал, внутри которого мы ищем определённую функцию. Так же, как в приведённом выше примере, мы должны были спросить: какова вероятность найти конец временного промежутка внутри интервала 𝑑𝑡? Теперь аналогично следует спрашивать: какова вероятность найти функцию в пределах некоторого более или менее ограниченного класса функций (например, среди кривых, заключённых между точками 𝑎 и 𝑏) в течение всего времени интересующего нас хода событий? Если мы назовём такую совокупность функций классом 𝐴 и спросим, какова вероятность найти функцию 𝑓(𝑡) в классе 𝐴, то ответ записывается в виде интеграла по траекториям

∫

𝑃[𝑓(𝑡)]

𝒟𝑓(𝑡)

,

^𝐴

(12.3)

где интегрирование проведено по всем функциям класса 𝐴.