Квантовая механика и интегралы по траекториям

Постоянная 𝐶 определяет силу притяжения между электроном и ранее созданным им возмущением; будем рассматривать её в качестве подгоночного параметра. Кроме того, без особых трудностей можно допустить, что закон обрезания экспоненты содержит некоторую отличную от единицы постоянную 𝑤. С её помощью мы сможем частично компенсировать неточность, которая вносится при замене обратно пропорциональной зависимости от расстояния параболической ямой (в этой связи заметим также, что добавление ещё одной постоянной в параболический член не улучшает результата, так как такой член выпал бы при вычислении 𝐸'₀). Параметры 𝐶 и 𝑤 подберём далее таким образом, чтобы получить минимум 𝐸'₀.

Поскольку действие 𝑆' мы выбрали квадратичным, то все существенные интегралы по траекториям легко вычисляются методами, описанными в гл. 2.

Сравнивая выражения (11.60) и (11.61), видим, что

1

β

⟨𝑆-𝑆'⟩

=

α

√8

∫

╱

╲

1

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

╲

╱

𝑒

^-|𝑡-𝑠|

𝑑𝑠

+

+

1

2

𝐶

∫

⟨|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²⟩

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑠

=

𝐴+𝐵

.

(11.62)

Сконцентрируем наше внимание на первом члене в правой части этого равенства 𝐴. Для выражения |𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|^-1 в нем можно выполнить преобразование Фурье. Дело в том, что этот множитель возникает в результате преобразования Фурье при переходе от выражения (11.57) к (11.58). Таким образом, мы имеем

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

^-1

=

∫

𝑑³𝐤

exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)]}

(2π²𝑘)

^-1

.

(11.63)

Теперь необходимо изучить выражение

⟨exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(τ)-𝐫(σ)]}⟩

=

∫

(

𝑒

^𝑆'

exp{𝑖𝐤⋅[𝐫(τ)-𝐫(σ)]}

)

𝒟𝐫(𝑡)

∫ 𝑒^𝑆' 𝒟𝐫(𝑡)

.

(11.64)

Интеграл в числителе имеет вид

𝐼

=

∫

⎧

⎨

⎩

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∫

⎪

⎪

⎪

𝑑𝐫

𝑑𝑡

⎪²

⎪

⎪

𝑑𝑡

-

1

2

𝐶

∬

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

+

+

∫

𝐟(𝑡)

⋅

𝐫(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

𝒟𝐫(𝑡)

(11.65)

где введено обозначение

𝐟(𝑡)

=

𝑖𝐤δ(𝑡-τ)

-

𝑖𝐤δ(𝑡-σ)

.

(11.66)

Поскольку выражение (11.65) зависит от 𝐟 или 𝐤, можно вычислить его, за исключением некоторого нормирующего множителя, который был опущен в (11.64). Между прочим, отметим, что в (11.65) три взаимно перпендикулярные компоненты разделяются и нам останется рассмотреть лишь скалярный случай. Метод интегрирования здесь совпадает с предложенным в гл. 3 для вычисления гауссовых интегралов по траекториям. Поэтому подставим 𝑋(𝑡)=𝑋'(𝑡)+𝑌(𝑡), где 𝑋'(𝑡)— функция, для которой показатель экспоненты минимален; переменной интегрирования теперь является 𝑌(𝑡). Поскольку показатель экспоненты квадратичен по 𝑋(𝑡), а 𝑋' определяет его экстремум, то 𝑌(𝑡) может войти в показатель только в квадрате, поэтому 𝑌 выделится как множитель, не содержащий 𝑓 и обращающийся после интегрирования в постоянную (зависящую только от 𝑇):

𝐼

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∫

𝑋̇'²(𝑡)

𝑑𝑡

-

1

2

𝐶

∬

[𝑋'(𝑡)-𝑋'(𝑠)]²

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

+

+

∫

𝑓(𝑡)

𝑋'(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

.

(11.67)

Если время изменяется от 𝑡=0 до 𝑡=𝑇, то удобно выбрать граничные условия 𝑋'(0)=𝑋'(𝑇)=0. Условие обращения в нуль вариации даёт интегральное уравнение

𝑑²𝑋'(𝑡)

𝑑𝑡²

=

2𝐶

[𝑋'(𝑡)-𝑋'(𝑠)]²

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑠

-

𝑓(𝑡)

.

(11.68)

С помощью этого уравнения выражение (11.67) можно записать в более простом виде:

𝐼

=

exp

⎡

⎢

⎣

1

2

∫

𝑓(𝑡)

𝑋'(𝑡)

𝑑𝑡

⎤

⎥

⎦

.

(11.69)

Теперь мы должны ещё решить уравнение (11.68) и подставить результат в (11.69). Чтобы сделать это, введём функцию

𝑍(𝑡)

=

𝑤

2

∫

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑋'(𝑠)

𝑑𝑠

(11.70)

так, чтобы

𝑑²𝑍(𝑡)

𝑑𝑡²

=

𝑤²

[𝑍(𝑡)-𝑋'(𝑡)]

.

(11.71)

Тогда уравнение (11.68) принимает вид

𝑑²𝑋'(𝑡)

𝑑𝑡²

=

4𝐶

𝑤

[𝑋'(𝑡)-𝑍(𝑡)]

-

𝑓(𝑡)

.

(11.72)

Как видно, уравнения разделяются и легко решаются. Подстановка в соотношение (11.69) решения уравнения (11.68) 𝑋'(𝑡) даёт

𝐼

=

exp{𝑖𝐤⋅[𝐗(τ)-𝐗(σ)]}

=

=

exp

⎡

⎢

⎣

-

2𝐶𝑘²

𝑣²𝑤

(1-𝑒

^-𝑣|τ-σ|

)

-

𝑤²

2𝑣²

𝑘²

|τ-σ|

⎤

⎥

⎦

,

(11.73)

где мы положили

𝑣²

=

𝑤²

+

4𝐶

𝑤

.

(11.74)

Этот результат нормирован правильно, так как он справедлив в случае 𝐤=0. После подстановки выражения (11.73) в (11.63) получим интеграл по 𝐤 от простой гауссовой функции, так что для 𝐴 имеем

𝐴

=

π

^-½

α𝑣

𝑤

_∞

∫

⁰

⎡

⎢

⎣

𝑤²τ

-

𝑣²-𝑤²

𝑣

(1-𝑒

^-𝑣τ

)

⎤-½

⎥

⎦

𝑒

^-𝑤τ

𝑑τ

.

(11.75)

Чтобы найти 𝐵, нам нужно определить величину ⟨|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|²⟩. Её можно получить, разложив обе части выражения (11.73) в ряд по 𝐤 с точностью до членов порядка 𝑘. Таким образом,

1

3

⟨|𝐫(τ)-𝐫(σ)|²⟩

=

4𝐶

𝑣³𝑤

(1-𝑒

^-|τ-σ|

)

+

𝑤²

𝑣²

|τ-σ|

.

(11.76)

Интеграл 𝐴 теперь легко вычислить, и результат выражается в очень простом виде:

𝐵

=

3𝐶

𝑣𝑤

.

(11.77)

В итоге нам нужно получить энергию 𝐸', соответствующую действию 𝑆'. Эту величину проще всего найти дифференцированием обеих частей выражения (11.6) по 𝐶:

𝐶𝑑𝐸'₀

𝑑𝐶

=

𝐵

,

(11.78)

так что с учётом выражений (11.77) и (11.74) получаем после интегрирования

𝐸'

₀

=

3

2

(𝑣-𝑤)

,

(11.79)

где мы учли, что 𝐸'₀=0 при 𝐶=0. Поскольку 𝐸'₀-𝐵=(3/4𝑣)(𝑣-𝑤)², то окончательно получим для энергии выражение

𝐸

=

3

4𝑣

(𝑣-𝑤)²

-

𝐴

,

(11.80)

где 𝐴 задано соотношением (11.75). Величины 𝑣 и 𝑤 — два параметра, которые для получения минимума можно варьировать порознь.

К сожалению, интеграл 𝐴 нельзя вычислить в квадратурах, так что окончательное определение 𝐸 требует численного интегрирования. Однако существует возможность найти приближённые выражения в различных предельных случаях. Случай больших α соответствует большим 𝑣. Выбор 𝑤=0 приводит к интегралу

𝐴

=

π

^-½

α

𝑣

^½

_∞

∫

⁰

𝑒

^-τ

𝑑τ

(1-𝑒

^-𝑣τ

)

^-½

=

αΓ(1/𝑣)

𝑣^½Γ(½+1/𝑣)

(11.81)