Квантовая механика и интегралы по траекториям

Первый член этого выражения — энергия электрона с координатой 𝐫, помещённого в кристалл с жёсткой решёткой. Второй член представляет собой лагранжиан колебаний поляризации в предположении, что все волны поляризации имеют одинаковую частоту и амплитуда 𝑘-го собственного колебания равна 𝑞_𝑘. Последний член является лагранжианом взаимодействия электрона с колебаниями решётки, где 𝑉 — объём кристалла, α — постоянная величина. Чтобы упростить все последующие формулы, мы записали это выражение в безразмерном виде, т.е. единицы энергии, длины и времени выбраны так, что не только ℏ, но и общая частота осцилляторов ω, а также масса электрона 𝑚 — все равны единице. Тогда постоянная связи а равна безразмерному отношению:

α

=

1

√2

⎧

⎪

⎩

1

ε_∞

-

1

ε

⎫

⎪

⎭

𝑒²

,

(11.55)

где ε и ε_∞ —соответственно статическая и динамическая диэлектрические постоянные. В типичном случае, например в кристалле NaCl, значение α составляет около 5. Вычисляемые значения энергии будут выражены в единицах ℏω.

После того, как мы решили задачу о движении гармонического осциллятора, можно изучить и квантовомеханическое движение электрона. Например, амплитуда вероятности того, что электрон выходит из точки 𝐫₁, когда все осцилляторы находятся в основном состоянии, и заканчивает движение точке 𝐫₂ при условии, что все осцилляторы снова находятся в основном состоянии, равна

𝐺

₀₀

(2,1)

=

∫

𝑒

^𝑖𝑆

𝒟𝐫(𝑡)

(11.56)

(при этом мы использовали результаты гл. 8) и

𝑆

=

1

2

∫

⎪

⎪

⎪

𝑑𝐫

𝑑𝑡

⎪²

⎪

⎪

𝑑𝑡

+

∫

√2πα

𝑘²

𝑒

^{𝑖𝐤⋅𝐫(𝑡)}

𝑒

^{-𝑖𝐤⋅𝐫(𝑠)}

𝑒

^{-𝑖|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑³𝐤

(2π)³

.

(11.57)

Проинтегрировав по волновым числам 𝐤, получим

𝑆

=

1

2

∫

|𝐫̇|²

𝑑𝑡

+

α𝑖

√8

∫

𝑒^{-𝑖|𝑡-𝑠|}

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(11.58)

Величина 𝐺₀₀(2,1) зависит от начального и конечного положений электрона 𝐫₁ и 𝐫₂ и от рассматриваемого интервала времени 𝑇. Так как эта функция представляет собой ядро, она является решением волнового уравнения Шрёдингера, рассматриваемого в зависимости от величины временного интервала 𝑇. Поэтому в её экспоненциальные множители войдут частоты, пропорциональные уровням энергии 𝐹_𝑚. Найдём низший из этих энергетических уровней.

Как уже отмечалось, развивая наш вариационный принцип, мы не интересовались ядрами, в которых величина 𝑇 имела бы смысл реального интервала времени; напротив, мы рассматривали мнимые величины, подобные появляющимся в выражении (11.8) при больших значениях β. Прослеживая все этапы, приведшие к выражению (11.58), можно легко показать для мнимых значений временной переменной β, что окончательный вид ядра будет таким:

𝐾(2,1)

=

∫

𝑒

^𝑆

𝒟𝐫(𝑡)

,

(11.59)

где переменная 𝑡 изменяется от 0 до β и

𝑆

=

1

2

∫

⎪

⎪

⎪

𝑑𝐫

𝑑𝑡

⎪²

⎪

⎪

𝑑𝑡

+

α

√8

∬

exp(-|𝑡-𝑠|)

|𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)|

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(11.60)

Этот результат совпадает с тем, что получится, если в выражении (11.58) переменную 𝑡 заменить мнимой величиной 𝑖𝑡. При больших значениях β это ядро асимптотически становится пропорциональным exp(-β𝐸₀).

Мы имеем сравнительно сложный интеграл по траекториям, к которому и попытаемся применить наш вариационный принцип. Сначала выберем некоторое простое действие 𝑆' грубо аппроксимирующее истинное действие 𝑆, а потом найдём 𝐸' и δ.

Заметим, что в соответствии с выражением (11.60) на частицу в любой момент времени «воздействует» реакция от её положения в предыдущий момент времени, которая обратно пропорциональна расстоянию между этими положениями и экспоненциально затухает с увеличением интервала между соответствующими моментами ²²). Причиной этому служит то, что вызванное электроном возмущение в кристаллической решётке потребует некоторого времени для процесса релаксации ионов, и в этот релаксационный период электрон все ещё будет «чувствовать» старое возмущение.

²²) Хотя величина 𝑡 в выражении (11.60) не является настоящим временем, а всего лишь переменной интегрирования, полезно рассматривать её, как мы это делали в § 2 гл. 10, в качестве времени.

Попробуем ввести действие 𝑆', обладающее всеми этими свойствами, за исключением того, что в законе взаимодействия вместо обратной пропорциональности расстоянию реакция положения будет иметь вид параболической ямы. Такая аппроксимация была бы непригодной, если расстояние |𝐫(𝑡)-𝐫(𝑠)| очень часто становилось бы чрезмерно большим. Однако, поскольку интервалы времени ограничены экспоненциальным затуханием, силы взаимодействия, большие значения этой разности, не могут дать сколько-нибудь существенного вклада в интеграл. Поэтому запишем

𝑆'

=

-

1

2

∫

|𝐫̇|²

𝑑𝑡

-

1

2

𝐶

∬

|𝐫(𝑠)-𝐫(𝑡)|²

𝑒

^{-𝑤|𝑡-𝑠|}

𝑑𝑡

𝑑𝑠

.

(11.61)