Квантовая механика и интегралы по траекториям

найдём из выражения (11.26) вариацию 𝐹':

∂𝐸

'

0

=

∫

η(

𝑥

)

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

𝑑

𝑥

∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥

,

(11.28)

а из выражения (11.24) определим вариацию δ:

∂δ=

∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} { βη(𝑥) [

𝑉(𝑥) - 𝑊(𝑥)] + η(𝑥) } 𝑑𝑥

∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥

+

+

1

( ∫ {exp[-β𝑊(𝑥)]} 𝑑𝑥 )²

×

∫

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

×

×

[

𝑊(

𝑥

)

-

𝑉(𝑥)

]

𝑑

𝑥

∫

βη(

𝑥

)

{exp[-β𝑊(

𝑥

)]}

𝑑

𝑥

.

(11.29)

Для нахождения экстремального значения правой части выражения (11.13) необходимо, чтобы

∂𝐸

'

0

-

∂δ

=0,

(11.30)

что имеет место, если выбрать

𝑊(

𝑥

)

=

𝑉(𝑥)

.

(11.31)

Это в свою очередь означает, что δ=0 и что функция 𝐹' имеет такой же вид, как и классическая свободная энергия, определённая выражением (11.17). Однако потенциал в выражении для 𝐹' был заменён на 𝑉(𝑥), поэтому

exp(-β𝐸

'

0

)

=

⎧

⎪

⎩

𝑚

2πβ

⎫½

⎪

⎭

∫

{exp[-β

𝑉(𝑥)

]}

𝑑

𝑥

,

(11.32)

где

𝑉(𝑥)

— эффективный классический потенциал, заданный выражением (11.24). При больших значениях β свободная энергия системы по существу совпадает с нижним уровнем энергии 𝐸₀ поэтому выражение (11.32) мы можем интерпретировать как аппроксимацию 𝐸₀. Это означает, что вариационный подход приводит к тому же результату, что и подход, изложенный в гл. 10 [см. выражения (10.67) и (10.68)].

§ 3. Стандартный вариационный принцип

В квантовой механике существует стандартный вариационный принцип, называемый методом Рэлея — Ритца. Он состоит в следующем: если 𝐻 — гамильтониан системы, у которой наименьшее значение энергии равно 𝐸₀, то для любой произвольной функции 𝑓 имеет место соотношение

𝐸

₀

≤

∫

𝑓*𝐻𝑓𝑑(объём)

⎡

⎢

⎣

𝑓*𝑓𝑑(объём)

⎤-1

⎥

⎦

.

(11.33)

Это соотношение довольно легко доказывается и имеет весьма широкое применение. Если функция 𝑓 разложена в ряд по собственным функциям гамильтониана φ_𝑛, т.е. если 𝑓=∑𝑎_𝑛φ_𝑛 то очевидно, что

∫

𝑓*𝐻𝑓𝑑(объём)

⎡

⎢

⎣

𝑓*𝑓𝑑(объём)

⎤-1

⎥

⎦

=

=

 

∑

^𝑛

|𝑎

_𝑛

|²

𝐸

_𝑛

⎡

⎢

⎣

 

∑

^𝑛

|𝑎

_𝑛

|²

⎤-1

⎥

⎦

.

(11.34)

Последнее выражение является усреднением по значениям энергии (с положительными весами |𝑎_𝑛|²) и больше (или равно) наименьшему значению энергии 𝐸₀. Смысл соотношения (11.33) совпадает с содержанием выражения (11.13); фактически это соотношение является частным случаем выражения (11.13) (чтобы быть более точными, ограничим этот вывод теми случаями, в которых гамильтониан 𝐻 не содержит зависимости от магнитного поля; тогда наше заключение является вполне точным). Для иллюстрации связи между этими двумя соотношениями рассмотрим следующий пример.

Предположим, что действие 𝑆 соответствует лагранжиану вида

𝐿

=

1

2

𝑚𝑥̇²

-

𝑉(𝑥)

,

(11.35)

где потенциал 𝑉(𝑥) не зависит от 𝑡 (в противном случае, конечно, не существует никаких стационарных уровней энергии). Ограничимся одной переменной 𝑥, но обобщение на любое количество их не составит труда. Здесь же отметим, что если лагранжиан содержит член 𝑥̇𝐴 (например, если лагранжиан описывает частицу в агнитном поле), то соотношение (11.33) все ещё остаётся в силе, хотя действие 𝑆 будет комплексным. Мы ожидаем, что в этом случае выражение (11.13) или же некоторые его простые модификации все ещё останутся справедливыми. Однако это не доказано, поэтому ограничимся случаем, когда никакого магнитного поля нет. Тогда в пределе при больших значениях β будем иметь

∫

⎧

⎪

⎩

exp

⎧

⎨

⎩

-

_β

∫

⁰

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

+

_β

∫

⁰

𝑉[𝑥(𝑡)]

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

𝒟𝑥(𝑡)

∼

exp(-β𝐸

₀

)

.

(11.36)

Предположим теперь, что в качестве пробного мы используем действие

𝑆'

=

_β

∫

⁰

𝑚𝑥̇²

𝑑𝑡

-

_β

∫

⁰

𝑉'[𝑥(𝑡)]

𝑑𝑡

,

(11.37)

которое содержит некоторый новый потенциал 𝑉'(𝑥). Это означает, что

𝑆-𝑆'

=

_β

∫

⁰

{

𝑉'[𝑥(𝑡)]

-

𝑉[𝑥(𝑡)]

}

𝑑𝑡

,

(11.38)

или

δ=-

∫

𝑒

^𝑆'

1

β

_β

∫

⁰

{

𝑉[𝑥(𝑡)]

-

𝑉'[𝑥(𝑡)]

}

𝑑𝑡

𝒟𝑥(𝑡)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

⎤-1

⎥

⎦

.

(11.39)

Если бы нам было нужно определить среднее значение любой функции, которая зависит от траектории 𝑥(𝑡) таким же образом, как и в данном случае усреднения, то мы обнаружили бы, что это среднее значение слабо зависит от 𝑡, пока 𝑡 не очень близко к нулю или к β. Поэтому с достаточной точностью можно написать

δ=-

∫

𝑒

^𝑆'

{

𝑉[𝑥(𝑡)]

-

𝑉'[𝑥(𝑡)]

}

𝒟𝑥(𝑡)

⎡

⎢

⎣

∫

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

⎤-1

⎥

⎦

=

=

⟨

𝑉[𝑥(𝑡)]

-

𝑉'[𝑥(𝑡)]

⟩

.

(11.40)

Следуя методам, изложенным в гл. 2, можно вычислить этот интеграл по траекториям в предположении, что известны функции φ'_𝑛 и значения энергий 𝐸'_𝑛, соответствующие 𝑆'. Пусть, например, наша траектория проходит между точками 𝑥₁ и 𝑥₂ в этом случае

𝑓'[𝑥(𝑡)]

=

 

∑

^𝑛

{exp[-(β-𝑡)𝐸

'

𝑚

]}

×

×

[exp(-𝑡𝐸

'

𝑛

)]

φ

'

𝑛

(𝑥

₂

)

φ

'

𝑚

(𝑥

₁

)

𝑓

_𝑛𝑚

×

×

⎧

⎨

⎩

 

∑

^𝑛

[exp(-β𝐸

'

𝑛

)]

φ

'*

𝑛

(𝑥

₂

)

φ

'

𝑛

(𝑥

₁

)

⎫-1

⎬

⎭

(11.41)

где

𝑓

_𝑛𝑚

=

∫

φ

'*

𝑛

(𝑥)

𝑓(𝑥)

φ

'

𝑚

(𝑥)

𝑑𝑥

.

(11.42)

Если же β стремится к бесконечности и 𝑡 тоже велико (например, 𝑡=β/2), то все экспоненты будут пренебрежимо малы по сравнению с экспонентой, содержащей наименьшее значение энергии 𝐸'₀. Таким образом, в пределе

lim

⟨𝑓⟩

=

𝑓

₀₀

β→∞

(11.43)

Этот результат можно записать в виде

δ

=-

∫

φ

'*

0

𝑉(𝑥)

φ

'

0

𝑑𝑥

+

∫

φ

'*

0

𝑉'(𝑥)

φ

'

0

𝑑𝑥

(11.44)

Мы, конечно, должны вычесть эту величину из 𝐸'₀. Однако если 𝐻 — гамильтониан, соответствующий действию 𝑆', т.е. если

𝐻'

=

𝑝²

2𝑚

+

𝑉'(𝑥)

,

(11.45)

то

𝐻'

φ

'

0

=

𝐸

'

0

φ

'

0

,

(11.46)

так что

𝐸

'

0

-δ

=

∫

φ

'*

0

𝐻'

φ

'

0

𝑑𝑥

+

∫

φ

'*

0

𝑉

φ

'

0

𝑑𝑥

-

∫

φ

'*

0

𝑉'

φ

'

0

𝑑𝑥

(11.47)

Но точный гамильтониан можно записать в виде

𝐻

=

𝑝²

2𝑚

+

𝑉

=

𝑝²

2𝑚

+

𝑉'

+

𝑉

-

𝑉'

=

𝐻'

+

𝑉

-

𝑉

,

(11.48)

а это означает, что

𝐸

₀

≤

∫

φ

'*

0

𝐻'

φ

'

0

𝑑𝑥

,

(11.49)