Квантовая механика и интегралы по траекториям

Для такой системы можно записать некоторое выражение, описывающее сохранение энергии, потому что уравнения движения не зависят от времени. (Ни один простой гамильтониан не даёт уравнений движения.) Возможно, что свойства системы позволяют ей подвергаться воздействию молекул газа и так достигать теплового равновесия. Зададимся вопросом: каковы средние значения параметров системы, которая подчиняется уравнению движения (10.92), удовлетворяющих граничным условиям на бесконечности, когда система находится в равновесии при температуре 𝑇? Возможно, что такая задача неразрешима или, быть может, её легко решить лишь в данном конкретном случае, когда уравнения движения линейны. Однако наша цель — выяснить, действительно ли для формулировки классической статистической механики необходимо существование гамильтониана и импульса или же можно изучать более широкий класс механических систем, для которых уравнения движения наиболее просто выводятся из принципа наименьшего действия, даже если функция действия содержит не только мгновенные положения и скорости частиц системы.

Этот вопрос представляет собой классический аналог нашего более интересного вопроса: каким образом в случае равновесного состояния системы мы переходим от описания её механических свойств, выраженного через интегралы по траекториям, к такому же описанию с точки зрения статистической механики.

Задача 10.9. Покажите, что выражение

𝐹(𝑡)

=

1

2

𝑚[𝑥̇(𝑡)]²

-

𝑘

2

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡+𝑎)

+

𝑘

2

_𝑡+𝑎

∫

^𝑡

𝑥(𝑡'-𝑎)

𝑥̇(𝑡')

𝑑𝑡'

(10.93)

является энергией для уравнения движения (10.92) и представляет собой сохраняющуюся величину.

Вообще для любого функционала действия 𝑆, не содержащего времени явным образом (т.е. инвариантный относительно преобразования 𝑡→𝑡+const) существует выражение для энергии 𝐸(𝑇) в момент 𝑇, которая будет сохраняющейся величиной. Это выражение можно найти, отыскивая в первом приближении изменение действия 𝑆 при замене всех траекторий 𝑥(𝑡) на 𝑥[𝑡+η(𝑡)], где η(𝑡)=+ε/2 для 𝑡>𝑇 и η(𝑡)=-ε/2 для 𝑡<𝑇 при постоянном ε. В случае бесконечно малого ε δ𝑆 равно ε𝐸(𝑇).

Задача 10.10. Рассмотрите, каким образом можно выразить через интегралы по тракториям статистико-механическое описание частицы, которая находится в магнитном ноле, постоянном во времени.

Глава 11

ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД

В этой главе мы обсудим метод приближённого вычисления интегралов по траекториям, основанный на вариационном принципе. Сначала проиллюстрируем этот метод некоторыми примерами, а потом рассмотрим задачи, в которых он может оказаться полезным.

§ 1. Принцип минимума

Предположим, что мы хотим вычислить свободную энергию системы 𝐹. Эта задача может быть сформулирована на языке интегралов по траекториям с помощью функции распределения [см. выражение (10.4)]

𝑍

=

𝑒

^-β𝐹

(11.1)

В соотношении (10.30) функция распределения была представлена как интеграл от матрицы плотности ρ(𝑥,𝑥). Затем в § 2 гл. 10 было получено выражение матрицы ρ(𝑥,𝑥) в виде некоторого ядра. Это позволило нам записать

𝑍

=

_∞

∫

^-∞

_𝑥1

∫

^𝑥₁

𝑒

^𝑆/ℏ

𝒟𝑥(𝑢)

𝑑𝑥

₁

,

(11.2)

если переменную «времени» 𝑢 рассматривать как мнимую величину.

В § 3 гл. 10 мы развили формализм теории возмущений для вычисления интегралов по траекториям, определяющих функцию распределения в некоторых частных случаях. Теперь опишем другой метод, применимый в тех случаях, когда действие 𝑆 является действительной величиной, как это имеет место, например, в обычных задачах без магнитного поля (и без учёта спина).

Всюду в этой главе мы будем предполагать, что при нашем выборе единиц ℏ=1. Если возникнет необходимость ввести ℏ для того, чтобы подчеркнуть квантовомеханический характер результата, это можно сделать непосредственным анализом размерности.

Пусть нам известно, что некоторая функция 𝑆' удовлетворяет двум условиям: во-первых, 𝑆' — достаточно простое выражение, так что для простых функционалов 𝐺 можно вычислить интегралы вида ∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡) или ∫𝐺𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡); во-вторых, траектории, дающие существенный вклад в интегралы ∫𝑒^𝑆𝒟𝑥(𝑡) и ∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡), одинаковы, т.е. величины 𝑆' и 𝑆 близки в случае, когда они обе малы. Предположим далее, что 𝐹' — свободная энергия, соответствующая действию 𝑆'. Это означает, что

𝑒

^-β𝐹'

=

_∞

∫

^-∞

_𝑥1

∫

^𝑥₁

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑢)

𝑑𝑥

₁

,

(11.3)

и поэтому

∫∫𝑒^𝑆𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥₁

∫∫𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑢)𝑑𝑥₁

=

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.4)

Так как 𝑒^𝑆=𝑒^𝑆-𝑆'𝑒^𝑆', то соотношение (11.4) можно записать в виде

∬

𝑒

^𝑆-𝑆'

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎡

⎢

⎣

∬

𝑒

^𝑆'

𝒟𝑥(𝑡)

𝑑𝑥

₁

⎤-1

⎥

⎦

=

𝑒

^{-β(𝐹-𝐹')}

.

(11.5)

Это выражение утверждает, что экспонента exp[-β(𝐹-𝐹')] представляет собой среднее значение от величины exp(𝑆-𝑆'); усреднение производится по всем траекториям, совпадающим в начальной и конечной точках, с весом 𝑒^𝑆'𝒟𝑥(𝑡) для каждой траектории. При усреднении учитываются все возможные значения 𝑥₁.