Квантовая механика и интегралы по траекториям

Мы видели, что в случае молекул, отстоящих друг от друга на расстояния порядка 1 Å, эффекты обмена (нетождественные перестановки) существенны лишь тогда, когда температура снижается до нескольких градусов Кельвина. Рассмотрим противоположный случай — поведение электронов в каком-нибудь твёрдом металле. Масса электрона намного меньше массы молекулы, и поэтому критическая температура для них оказывается значительно более высокой. При комнатной температуре электроны в металле точно описываются уравнениями, учитывающими лишь обменные эффекты описанных выше циклических перестановок. С этой точки зрения комнатная температура слишком низка для электронов. Доминирующее значение имеют обменные эффекты, т.е. электронный газ является вырожденным. Конечно, электроны взаимодействуют в соответствии с законом Кулона, и это взаимодействие довольно сильное; однако поскольку оно является дальнодействующим, его влияние будет усредняться. Мы можем быть вполне удовлетворены приближением, в котором электроны считаются независимыми объектами, хотя реально каждый из них движется в периодическом потенциальном поле, создаваемом ядрами и соседними электронами. Тем не менее, уподобив электроны в металле идеальному ферми-газу (в котором отсутствует взаимодействие частиц), можно многое узнать об их поведении.

Однако ясно, что мы не сможем изучить это явление достаточно детально, поскольку в таком рассмотрении остаётся загадочной сверхпроводимость, возникающая в металлах при нескольких градусах Кельвина. При сверхпроводимости, по крайней мере у некоторых металлов, играет роль какое-то взаимодействие, связанное с медленными колебаниями атомов; это доказывается тем обстоятельством, что температура перехода для двух различных изотопов одного металла зависит от массы атома. Массовое число изотопа не могло бы влиять на процесс, если бы переход обусловливался взаимодействием самих электронов или их взаимодействием с жёстко фиксированными атомами. Поэтому приближение, в котором атомы фиксированы, следует считать неправильным. Но каким образом колебания атомов приводят к внезапному скачку теплоёмкости, а ниже критической температуры делают возможной электрическую проводимость без сопротивления? Этот вопрос впервые был убедительно разъяснён Бардином, Купером и Шриффером ¹⁹). Метод интегрирования по траекториям не сыграл в их анализе никакой роли; он фактически никогда не был полезен при рассмотрении вырожденных ферми-систем.

¹⁹) J. Вагdееn, L. N. Соореr, J. R. Sсhгiеffеr, Phys. Rev., 106, 162; 108, 1175 (1957). (Математически корректная теория этого явления была одновременно разработана Н. Н. Боголюбовым как обобщение его работ по теории сверхтекучести; см. литературу в примечании на стр. 314.— Прим, ред.)

Закон Планка для излучения абсолютно чёрного тела. Легко получить функцию распределения для любой системы взаимодействующих осцилляторов. Такая система эквивалентна набору независимых осцилляторов с частотами ω_𝑖. Величина свободной энергии 𝐹 для совокупности независимых осцилляторов равна сумме свободных энергий каждого из этих осцилляторов. Последние, как это видно непосредственно из (10.69), равны

𝓀𝑇 ln

⎧

⎪

⎩

2 sh

ℏω

2𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

Поэтому свободная энергия всей системы запишется в виде

𝐹

=

𝓀𝑇

 

∑

^𝑖

ln

⎧

⎪

⎩

2 sh

ℏω_𝑖

2𝓀𝑇

⎫

⎪

⎭

=

𝓀𝑇

 

∑

^𝑖

ln

(1-𝑒

^{ℏω_𝑖/𝓀𝑇}

)

+

 

∑

^𝑖

ℏω_𝑖

2

.

(10.85)

Последний член в этом выражении представляет собой энергию основного состояния системы.

В случае электромагнитного поля, заключённого в объёме 𝑉, число мод равно удвоенному количеству значений волнового вектора 𝐊; нулевая энергия при этом не учитывается. Следовательно, свободная энергия электромагнитного поля, отнесённая к единице объёма, равна

𝐹

=

𝓀𝑇

∫

𝑑³𝐊

(2π)³

2 ln

(1-𝑒

^{-ℏ𝐾_𝑐/𝓀𝑇}

)

.

(10.86)

Внутренняя энергия 𝑈 представляет собой частную производную от β𝐹 по β, и после подстановки ω=𝐾_𝑐 принимает вид

𝑈

=

2

∫

𝑑³𝐊

(2π)³

ℏω

1

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

.

(10.87)

Элемент объёма в импульсном пространстве можно записать так:

𝑑³𝐊

=

4π𝐾

𝑑𝐾

=

4π

ω²

𝑐³

𝑑ω

.

(10.88)

Поэтому энергия электромагнитного поля, заключённая в области частот от ω до ω+𝑑ω, равна

2⋅4π

(2π𝑐)³

ℏω

𝑒^{ℏω/𝓀𝑇}-1

.

(10.89)

Это и есть хорошо известный закон излучения абсолютно чёрного тела, открытый Планком. Он явился первым количественным результатом квантовой механики, который описывал наблюдаемое явление, и был первым шагом к открытию новых законов природы.

Другим триумфом на заре квантовой механики было объяснение Эйнштейном и Дебаем температурной зависимости теплоёмкости твёрдых тел. Эта зависимость тоже вытекает из соотношения (10.85), с той лишь разницей, что осцилляторами теперь должны быть нормальные моды кристалла, описанные в гл. 8. Подобно выражению (10.87), тепловая энергия в единице объёма такого кристалла (без учёта нулевой энергии) будет равна

𝑈

=

 

∑

^{3𝑝 мод}

∫

ℏω(𝐤)

exp[ℏω(𝐤)/𝓀𝑇]

𝑑³𝐤

(2π)³

,

(10.90)