Квантовая механика и интегралы по траекториям

На самом деле записанное нами выражение (10.74) неправильно, так как свойства симметрии, упомянутые выше, имеют существенное значение. Здесь мы столкнулись с одной из интересных особенностей квантовой механики тождественных частиц. В гл. 1 упоминалось, что если событие протекает двумя неразличимыми способами, то амплитуды вероятности этих двух возможностей будут складываться. В частности, когда мы имеем дело с двумя неразличимыми частицами, любое событие всегда можно осуществить двумя способами, поменяв эти частицы ролями. При этом амплитуды, соответствующие случаю переставленных и случаю не переставленных частиц, должны складываться. Это правило относится к бозонам; в случае фермионов вклады в амплитуду, возникающие при нечётных перестановках, будут взаимно уничтожаться. Атомы обычного гелия, представляющего собой изотоп с массовым числом 4, содержат шесть частиц: два протона, два нейтрона и два электрона. Это означает, что атомы гелия являются бозонами и при перестановке частиц амплитуды должны складываться. Принято говорить, что бозоны подчиняются симметричной статистике, а фермионы — антисимметричной.

Для того чтобы увидеть, как происходит это сложение амплитуд, по крайней мере в случае атомов гелия, можно рассуждать следующим образом. В конечном состоянии атомы неотличимы друг от друга, поэтому, если даже конечная конфигурация совпадает с начальной, некоторые атомы могли поменяться местами.

Пусть, например, какой-то атом, который мы обозначим индексом 1, имеет в начальный момент положение 𝑥₁(0). Мы уже предположили, что в конце это же положение займёт по крайней мере один атом. Таким образом, для некоторого атома значение 𝑥₁(β) равно 𝑥₁(0). Конечно, закончить своё движение в этой точке может и не сам атом 1. Вместо этого он мог бы занять начальное положение атома 2, т.е. 𝑥₂(0), тогда как в то же самое время атом 2 занял бы исходное положение атома 1; другими словами, атомы 1 и 2 в конечной конфигурации могут поменяться местами по сравнению с начальной.

Чтобы описать это наиболее общим образом, обозначим через 𝑃𝑥_𝑖 некоторую перестановку атомов, первоначально находившихся в точках 𝑥_𝑖. Тогда в упомянутом случае перестановки атомов 1 и 2 (все другие атомы остались на своих местах) можно записать

𝑃𝑥

₁

=𝑥

₂

,

𝑃𝑥

₂

=𝑥

₁

,

𝑃𝑥

₃

=𝑥

₃

,

 …,

𝑃𝑥

_𝑁

=𝑥

_𝑁

,

 … .

(10.75)

Вообще говоря, расположение частиц в конечном состоянии может быть произвольной перестановкой их начальных состояний:

𝑥

_𝑗

(β)

=

𝑃𝑥

_𝑗

(0)

.

(10.76)

Поэтому для построения полной амплитуды мы должны просуммировать по всем 𝑁! возможным перестановкам, поскольку каждая из них является альтернативной возможностью. Если затем проделать усреднение по всем перестановкам, то получится правильная нормировка. Отсюда видно, что в случае симметричной статистики выражение (10.74) следует заменить выражением

𝑍

=

1

𝑁!

 

∑'

^𝑃

𝑑

^𝑁

𝐑(0)

_{𝑃𝐑𝑖(0)}

∫

^𝐑_𝑖(0)

⎡

⎢

⎣

exp

⎧

⎪

⎩

-

1

2ℏ

⎧

⎨

⎩

𝑚

 

∑

^𝑖

_βℏ

∫

⁰

|𝐑̇(𝑡)|²

𝑑𝑡

+

+

 

∑

^𝑖,𝑗

_βℏ

∫

⁰

𝑉[𝐑

_𝑖

(𝑡)-𝐑

_𝑗

(𝑡)]

𝑑𝑡

⎫

⎬

⎭

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

𝒟

^𝑁

𝐑(𝑡)

,

(10.77)

где символ

 

∑'

^𝑃

означает суммирование по всем перестановкам 𝑃.

Если бы мы имели дело с фермионами (например, с изотопом гелия, содержащим три нуклона в ядре), мы должны были бы ввести дополнительный множитель ±1, положительный для чётных перестановок и отрицательный для нечётных. В окончательном варианте 𝑍' имелись бы также некоторые дополнения, зависящие от спина атома.

Более детальный вывод выражения (10.77) можно сделать следующим образом. В случае атомов Не⁴ квантовомеханическая амплитуда для двух атомов, которые движутся от точек 𝑎 и 𝑏 до точек 𝑐 и 𝑑, будет равна

𝐾(𝑐,𝑎;𝑑,𝑏)

+

𝐾(𝑑,𝑎;𝑐,𝑏)

(10.78)

(амплитуды для альтернативных конечных состояний суммируются в силу неразличимости этих состояний). В этом выражении 𝐾(𝑐,𝑎;𝑑,𝑏) — комплексная амплитуда перехода частицы из точки 𝑎 в точку 𝑐, в то время как вторая частица переходит из 𝑏 в 𝑑.

Поскольку частицы неразличимы, то из свойств симметрии следует, что амплитуда вероятности обнаружить в конечном итоге эти частицы в точках 𝑐 и 𝑑 должна быть симметричной функцией. Следовательно, волновая функция ψ(𝑐,𝑑) должна быть симметричной функцией переменных 𝑟_𝑐 и 𝑟_𝑑, т.е.

ψ(𝑐,𝑑)

=

ψ(𝑑,𝑐)

.

(10.79)

Если бы частицы были фермионами, волновая функция оказалась бы антисимметричной функцией их положений.

Это правило легко обобщается на случай многих частиц:

ψ(1,2,3,…,𝑁)

=

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ψ(1,2,3,…,𝑁),

ψ(1,2,3,…,𝑁),

… … … .

(10.80)

Простейшее следствие этого общего правила состоит в том, что волновая функция обязана быть симметричной или антисимметричной. Несмотря на то что в общем случае существуют и другие решения уравнения Шрёдингера, в природе реализуются только симметричные и антисимметричные. Поэтому в выражении для функции распределения (10.2) мы должны суммировать не по всем значениям гамильтониана 𝐻, которые можно получить при решении уравнения 𝐻φ_𝑛=𝐸_𝑛φ_𝑛, а только по тем из них, волновая функция которых симметрична. Например, если не учитывать статистику 𝑁 атомов, то матрица плотности ρ(𝑥',𝑥) определяется выражением (10.28). Каким образом следует видоизменить сумму в этом выражении, чтобы в неё входили только лишь симметричные функции?